半空间上mhd方程组弱解衰减性质

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1、在介绍本文的主要结论之前，首先给出一些符号的定义：C8noornnLebes^GeMC妙隔奂示乞伽)%阍&芒<肓簡畫玉屈[击噪/+Oo+HR?)+示通常的R"上的Sobolev空间，Wm^)表示C°°(RW)在0〃"(R〃)中的闭+0+0++包.特别的,当"2时，H'(R")表示C°°(R”)在范数ll0llm：=ll0ll2+IIWIl2Oq+O.<7+2运8数类.并用C(0,T;X)表示X中所有在(0,T)上连续的函数金)所构成有Helmholtz分解Z/(R")=Lr(R,z)㊉G(IT)•+e++其中:G(R")={VpED(R")；PeU(RT}.用P表示D(R")到L‘(R“)++

2、loc++<7+上的投影算子.定义厶厂(R")(l<厂<8)上的Stokes算子A：=-PA,其定a+义域为D⑷=JV2,(Rn)A丹气R")ALr(Rn).因为缶为A2(RW)上的非负+0+6F+a+自伴算子，所以存在谱分解，即存在声一的谱族｛E沙.注o,使得JOO力2=・0简便起见，将4•简写为力・下面给出方程组(1.2)弱解的定义([8])：定义1.1.若屮,B)满足以T条件()(i)u,BW厶8(0,8；厶2(时)丿n厶2(0T.Hi(r〃)丿；(b+O.<7-F(ii)对任意的(/>ecl[0,00)；z/1(Rw)nLw(Rwy,有、Oq++[(如]_况0),—0)()()sSt

3、+Vw(r),V^(r)+w(r)・Vw(r)-B(t)・V^(T),00)dr7-^(0,+J(s),4G))，J『[()」_%),評)()()s8t+VB(T)fV^(T)+U(T)・V^(T)一B(t)•Vw(r),^(7)dr=-0a))+0(s))・(1.3)(iii)能量不等式ff_Il%(r)ll2+10(0112+2(IIVW(t)

4、

5、2+

6、

7、V5(t)2)dr运

8、也(巧

9、

10、2+

11、0(s)2.(1.4)222

12、

13、22

14、

15、2则称(ufB)为方程组(1.2)在R才X(0,oo)上的弱解.本文将研究弱解的衰减性质，并根据文献［10］的结论刻画岀能产生慢衰减的初值.为此，定义集合ay6

16、丄a•儿》(K)：=We厶2(r〃)；I細注啪，r，

17、乙I运y,Ifl运5}其屮：加注0,久齐5>0,"(乙由)eR〃，孑=(Cb込,…，由1)eR心.假设•考哼满足以下希件的»：)(Al)d=a(xfxf1)f0,h=h(xfxtl),0WZ?(R")・a+(z=l,2)且满足对几乎所有的

18、如运3,都有

19、/p©)

20、>C,这里的/表示竹iz相对于的奇延拓，即7(X”)Xn>0,/©)：=——七7)XnV0•gM(R'I),其屮：加注0,a,“5>0.〃-〃(A3)afbETm以下为本文的主要结论：定理1.1.若斤注3,afbeLr(Rw)A厶2(r〃)满足假设(Al)〜(A3),且厂和m十(7

21、+满足⑴或(ii)：八、.一In⑴Z吨吋，。运加运1.(ii)2nTT+11及常数C>0,使得当t注T时，方程组(1.2)的任意弱解3,B)n*2m4•(1.5)11%(圳2+10(圳2注Ct~0运加<—n—1.作为定理1」的一个应用，木文还考虑了MHD方程组弱解在如下形式的衰减性质：lim\E；u(t}\^\E；B(t}b=1-(L6)/—>OO_—__1也(/)

22、

23、2十1

24、3(圳2其中：久>0.Q为Stokes算子的单位分解.文献［26-28］研究了Navic—Stokes方程组弱解在类似形式下的衰减性质：lim

25、

26、乙曲）

27、

28、2=-2/—>00II火

29、）112并证明了当久满足一定条件吋，式（1.7）成立.文献［10,23］证明了当满足一定初值条件时，式（1.7）对2>0都成立.在此基础上，给出定理1.2：定理1.2.若刃=3,4,厂>1和加注0满足：10及常数00,使+（T+得当/注卩时，任意的方程组（1.2）的弱解SB）都有、—Cn—迈沁）11吐11互20121延—广（卄门只、11^(0112+IW)

30、

31、2A第2章Stokes方程组及热方程组解的衰减本节将讨论Stokes方程组及热方程组解在全空间R"和半空间R,上的衰减性质.命题2.1.([11])・⑴若

32、uED(Ar),则有2IIV州运C\ArU\r9其中：1<厂<8,C与"无关.(ii)若uED(AV2),其中D(J1/2)=PK,r(RM)nZ/(R〃)，1

33、

34、r运C\Ay2u\r9其中：C与u无关.(iii)若uGD(Aa)f其中lv厂<8,0