全空间上一类非齐次椭圆方程正解衰减

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1、数学杂志Vo1．35(2015)NO．6J．ofMath．(PRC)全空间上一类非齐次椭圆方程正解的衰减杨芬，胡松(武汉科技大学理学院，湖北武汉430065)摘要：本文研究了非齐次椭圆方程不同衰减正解的存在性和衰减问题．利用上下解方法，得到了两个有着不同衰减的正解的存在性，推广了文献[2]中非齐次方程正解的存在性．关键词：非齐次椭圆问题；正解；存在性；衰减MR(2010)主题分类号：35J15；35J60中图分类号：0175．25文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)06—1469—061引言本文讨论了如下非齐次椭圆方程问题+u+t厂()=0．∈(1．1)，02

2、表示拉普拉斯算子其中△=；p>q>1，n∈Ⅳ且n3；

3、厂∈()，t厂。且t：1～f兰0．为了叙述方便，我们首先引入以下记号22m’m关于非齐次偏微分方程，在文献『1，2]中，Bae、Ni和Bernard先后讨论了乱+，()：0j∈，(1．2)解存在的必要条件和充分条件．在此基础上，很多数学家进行了更加深入的研究，得到了解的更多性质，参见文献[2，4，5]等．关于方程(1．2)的齐次方程，有很多很好的结果，参见文献[3，6一i0]等．尤其重要的结果是当P充分大时，正解在无穷远处的衰减指数为一mp，即在无穷远处，u(Ix1)一Ixl一～．在文献[2]中，作者运用上下解方法得到了在无

4、穷远处衰减指数为一m(慢速衰减)和一(n一2)(快速衰减)的两种正解的存在性．收稿日期：2014—01．05接收日期：2014—05—29基金项目：国家自然科学基金资助(10901126；11201355)；湖北省教育厅基金资助(D20131108)；国家教育部博士点基金资助(20134219120003)．作者简介：杨芬(1978一)，女，湖北鄂州，副教授，主要研究方向：偏微分方程及其应用．数学杂志在文献[11]中，我们讨论方程(1．1)正解存在的充要条件．本文中，我们不仅讨论方程(1．1)在无穷远处衰减指数为一(n一2)的快速衰减正解的存在性．我们还将证明介于快速衰减和慢速

5、衰减之间的一类正解的存在性．我们的主要定理为：定理1．1如果n／(n一2)

6、l+qtq=0在(0，+。。)上的唯一解C2=(7_一2)(n一7-)02一；一1注由定理1．1和定理1．2，如果非齐次项，满足一定的衰减条件，则方程(1

7、．1)会有快速衰减正解、慢速衰减正解和介于快速衰减和慢速衰减之间的正解．2辅助性结果定义2．1如果∈c(R)=⋯，称为．“的球面平均，其中是n中单位球的面积，dS是表面测度．引理2．2假设佗／(n一2)0，c4>0．注用标准的方法可以证明引理2．2．证明省略．定义2．3如果。厂是上的局部hSlder连续函数，耘称为．厂的牛顿位势，其中c=[(n一2)1．_，u是中单位球的面积．下面我们给出．厂的牛顿位势的一些结论．引理2．4[]如果在无穷远处fClxl，C>0，f>一2，则在无穷远处，Ⅳc{

8、量C[x[2三-n’l。g，一f2n<=<一fn．<一2N0．6杨芬等：全空间上一类非齐次椭圆方程正解的衰减1471引理2．5[]如果在无穷远处fClxl，C>0，l>一2，则在无穷远处，IClxl。_。。，l<一n，Ⅳ(){Clxl~～logIxl，l：一n，IClxl+f，一n<1<一2引理2．5和2．5中的各个C是互不相同的，我们采用了同一记号3存在性定理的证明定理3．1方程(1．1)的解满足下面的不等式u(x)N(x)定理3．1可由文献[2]中定理2类似的方法证明，我们省略其证明定理1．1的证明记w(r)(1+r2)“，’>0uj’(3．1)SW叫，，+叫，+p+叫q(

9、3．2)∈>0和>0将在后面的证明中给出．把(3．1)式带入(3．2)式中直接计算得到s叫=_4_irT2a(a+1)~一++石．"一’，取=，运用上下解原理，要使Sw0成立，必须g(n+2)／2，即gn．(3．3)—在式(3．3)的限制下，有叫=j++考虑函数hi(t)=-n(n一2)t+t-t-t，很显然hi(0)=0；对充分小的￡>0，有1()<0，而且hII(、t)=P(P一1)t一+q(q一1)tq一>0，t>0．从而函数h()=0在(O，+∞)上有唯一解，记为1(即定理1．2中的