全空间上一类非齐次椭圆方程正解衰减

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1、数学杂志Vo1.35(2015)NO.6J.ofMath.(PRC)全空间上一类非齐次椭圆方程正解的衰减杨芬,胡松(武汉科技大学理学院,湖北武汉430065)摘要:本文研究了非齐次椭圆方程不同衰减正解的存在性和衰减问题.利用上下解方法,得到了两个有着不同衰减的正解的存在性,推广了文献[2]中非齐次方程正解的存在性.关键词:非齐次椭圆问题;正解;存在性;衰减MR(2010)主题分类号:35J15;35J60中图分类号:0175.25文献标识码:A文章编号:0255—7797(2015)06—1469—061引言本文讨论了如下非齐次椭圆方程问题+u+t厂()=0.∈(1.1),02

2、表示拉普拉斯算子其中△=;p>q>1,n∈Ⅳ且n3;

3、厂∈(),t厂。且t:1~f兰0.为了叙述方便,我们首先引入以下记号22m’m关于非齐次偏微分方程,在文献『1,2]中,Bae、Ni和Bernard先后讨论了乱+,():0j∈,(1.2)解存在的必要条件和充分条件.在此基础上,很多数学家进行了更加深入的研究,得到了解的更多性质,参见文献[2,4,5]等.关于方程(1.2)的齐次方程,有很多很好的结果,参见文献[3,6一i0]等.尤其重要的结果是当P充分大时,正解在无穷远处的衰减指数为一mp,即在无穷远处,u(Ix1)一Ixl一~.在文献[2]中,作者运用上下解方法得到了在无

4、穷远处衰减指数为一m(慢速衰减)和一(n一2)(快速衰减)的两种正解的存在性.收稿日期:2014—01.05接收日期:2014—05—29基金项目:国家自然科学基金资助(10901126;11201355);湖北省教育厅基金资助(D20131108);国家教育部博士点基金资助(20134219120003).作者简介:杨芬(1978一),女,湖北鄂州,副教授,主要研究方向:偏微分方程及其应用.数学杂志在文献[11]中,我们讨论方程(1.1)正解存在的充要条件.本文中,我们不仅讨论方程(1.1)在无穷远处衰减指数为一(n一2)的快速衰减正解的存在性.我们还将证明介于快速衰减和慢速

5、衰减之间的一类正解的存在性.我们的主要定理为:定理1.1如果n/(n一2)

6、l+qtq=0在(0,+。。)上的唯一解C2=(7_一2)(n一7-)02一;一1注由定理1.1和定理1.2,如果非齐次项,满足一定的衰减条件,则方程(1

7、.1)会有快速衰减正解、慢速衰减正解和介于快速衰减和慢速衰减之间的正解.2辅助性结果定义2.1如果∈c(R)=⋯,称为.“的球面平均,其中是n中单位球的面积,dS是表面测度.引理2.2假设佗/(n一2)0,c4>0.注用标准的方法可以证明引理2.2.证明省略.定义2.3如果。厂是上的局部hSlder连续函数,耘称为.厂的牛顿位势,其中c=[(n一2)1._,u是中单位球的面积.下面我们给出.厂的牛顿位势的一些结论.引理2.4[]如果在无穷远处fClxl,C>0,f>一2,则在无穷远处,Ⅳc{

8、量C[x[2三-n’l。g,一f2n<=<一fn.<一2N0.6杨芬等:全空间上一类非齐次椭圆方程正解的衰减1471引理2.5[]如果在无穷远处fClxl,C>0,l>一2,则在无穷远处,IClxl。_。。,l<一n,Ⅳ(){Clxl~~logIxl,l:一n,IClxl+f,一n<1<一2引理2.5和2.5中的各个C是互不相同的,我们采用了同一记号3存在性定理的证明定理3.1方程(1.1)的解满足下面的不等式u(x)N(x)定理3.1可由文献[2]中定理2类似的方法证明,我们省略其证明定理1.1的证明记w(r)(1+r2)“,’>0uj’(3.1)SW叫,,+叫,+p+叫q(

9、3.2)∈>0和>0将在后面的证明中给出.把(3.1)式带入(3.2)式中直接计算得到s叫=_4_irT2a(a+1)~一++石."一’,取=,运用上下解原理,要使Sw0成立,必须g(n+2)/2,即gn.(3.3)—在式(3.3)的限制下,有叫=j++考虑函数hi(t)=-n(n一2)t+t-t-t,很显然hi(0)=0;对充分小的£>0,有1()<0,而且hII(、t)=P(P一1)t一+q(q一1)tq一>0,t>0.从而函数h()=0在(O,+∞)上有唯一解,记为1(即定理1.2中的

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