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时间:2020-04-25
《具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性-论文.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数学物理学报http://actams.wipm.ac.cn具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性梁占平(山西大学数学科学学院太原030006)苏加宝(首都师范大学数学科学学院北京100037)2摘要:在Orlicz—Sobolev空间中利用临界点理论考虑了非齐次拟线性椭圆方程+一<1I—div(~(iVu1)Vu)=llq-2u+ll一在Q中,Up=0在aQ上一2U无穷多解的存在性,其中Q是Ⅳ中边界光滑的有界区域,,∈是两个参数在在关键词:非齐次拟线性椭圆方程;Orlicz—Sobolev空间;临界点理论.QMR(2000)主题分类:35J60中图分类号:O175.5
2、文献标识码:A文章编号:1003—3998(2014)02—217-10L冲1引言在本文中,(P)的多解性,其中Q是Ⅳ中边界光滑的有界区域,,∈是两个参数.假设(H1)(£)∈([0,∞),[0,。。))满足()>0,(())>0,t>0一得f≤:≤m⋯,t>0,其中()=(s)sds.在具体数学模型中,有许多例子满足上述的假设条件(HI)和(H2)收稿日期:2012—04-19;修订日期:2013—03—19E-mail:lzp@SXU.edu.cn基金项目:国家自然科学基金(11071149,11171204,11271264)、教育部高等学校博士点基金(20110
3、6118)和山西省自然科学基金(2010011001—1,2012011004-2)资助218数学物理学报Vl01.34A例1.1假设a>1,(t)=t_。,t>0.此时(H1)和(H2)成立,其中取l=m=.例1.2假设>1,>0,(t)=log(1+)。_,t>0.易知,(H1)成立.取2=OLm=+,由文献[1】知,(H2)成立.例1.3假设>1/2,()=2a(1+t2)一,t>0.由于lim一,故(H1)和(H2)成立.从上面三个例子可以看出,我们所讨论的问题可能包含非齐次的算子.对于含有齐次算子的椭圆问题,我们一般在熟知的Sobolev空间进行讨论.然而,对
4、于含有非齐次算子的方程,我们必须引入新的函数空间,即Orlicz—Sobolev空间.定义Orlicz—Sobolev空间的基础是Orlicz空间.在文献[2-3]和Luxemburg的博士论文[4]中,已对Orlicz空间做了详细的描述.用Orlicz空间圣(Q)代替Sobolev空间W,(Q)定义中的(【2)空间,就是所谓的Orlicz—Sobolev空间(Q).许多Sobolev空间的性质可推广到Orlicz—Sobolev空间,读者可参阅文献[5].在文献[6-8]中,Donaldson和Gossez开始利用Orlicz—Sobolev空间研究了非线性椭圆边值问
5、题解的存在性.最近,许多作者开始关注Orlicz—Sobolev空间并利用它来讨论一些数学模型,例如文献[9—13】.当()=t一0,OL>1时,利用临界点理论,单调算子方法和拓扑度理论,人们获得了许多有关方程(P)解的存在性结果。特别地,当=2,即()三1时,方程)是带有凸凹项的二阶半线性椭圆方程.Ambrosetii,Brezis和Cerami在文献f14]中讨论了这类有凸凹项的二阶半线性椭圆方程,并且得出:如果16、)对于任意的>0,∈,当()三1时,方程(7))存在一个解序列{,“)满足,(uk)._÷+∞,k__÷∞;b)对于任意的>0,∈,当()三1时,方程(P)存在一个解序列{)满足,“()__+0,k__+co,其中():(ll一)u∈日3(Q)当()=log(1+tZ)t一,t>0时,在文献[13]中,作者利用临界点理论讨论了方程(P)解的存在性,得出:c)假设=l,<0,q=.如果,>l,P0,=一1.如果,>l,P0使得当≥时7、,方程)至少存在一个非平凡解.定义,(,“):圣(Ivu1)d一J钆qdx-P钆∈魄(Q)。t,【2QPt/,nI钆ld,所谓u是方程()的解,是指对任意的∈(Q),有厂Q(IuI)v钆.Vd=l[q-2u~dx+At/lf一2dNo.2梁占平等:具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性219我们的主要结论是定理1.1假设2,m∈(1,Ⅳ),z≤m0,≤0,方程(P)存在一个解序列{“)满足,(“%)一。。,一。。.定理1.2假设z,m∈(1,Ⅳ),f≤m
6、)对于任意的>0,∈,当()三1时,方程(7))存在一个解序列{,“)满足,(uk)._÷+∞,k__÷∞;b)对于任意的>0,∈,当()三1时,方程(P)存在一个解序列{)满足,“()__+0,k__+co,其中():(ll一)u∈日3(Q)当()=log(1+tZ)t一,t>0时,在文献[13]中,作者利用临界点理论讨论了方程(P)解的存在性,得出:c)假设=l,<0,q=.如果,>l,P0,=一1.如果,>l,P0使得当≥时7、,方程)至少存在一个非平凡解.定义,(,“):圣(Ivu1)d一J钆qdx-P钆∈魄(Q)。t,【2QPt/,nI钆ld,所谓u是方程()的解,是指对任意的∈(Q),有厂Q(IuI)v钆.Vd=l[q-2u~dx+At/lf一2dNo.2梁占平等:具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性219我们的主要结论是定理1.1假设2,m∈(1,Ⅳ),z≤m0,≤0,方程(P)存在一个解序列{“)满足,(“%)一。。,一。。.定理1.2假设z,m∈(1,Ⅳ),f≤m
6、)对于任意的>0,∈,当()三1时,方程(7))存在一个解序列{,“)满足,(uk)._÷+∞,k__÷∞;b)对于任意的>0,∈,当()三1时,方程(P)存在一个解序列{)满足,“()__+0,k__+co,其中():(ll一)u∈日3(Q)当()=log(1+tZ)t一,t>0时,在文献[13]中,作者利用临界点理论讨论了方程(P)解的存在性,得出:c)假设=l,<0,q=.如果,>l,P0,=一1.如果,>l,P0使得当≥时
7、,方程)至少存在一个非平凡解.定义,(,“):圣(Ivu1)d一J钆qdx-P钆∈魄(Q)。t,【2QPt/,nI钆ld,所谓u是方程()的解,是指对任意的∈(Q),有厂Q(IuI)v钆.Vd=l[q-2u~dx+At/lf一2dNo.2梁占平等:具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性219我们的主要结论是定理1.1假设2,m∈(1,Ⅳ),z≤m0,≤0,方程(P)存在一个解序列{“)满足,(“%)一。。,一。。.定理1.2假设z,m∈(1,Ⅳ),f≤m
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