具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性-论文.pdf

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1、数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性梁占平(山西大学数学科学学院太原030006)苏加宝(首都师范大学数学科学学院北京100037)2摘要：在Orlicz—Sobolev空间中利用临界点理论考虑了非齐次拟线性椭圆方程+一<1I—div(~(iVu1)Vu)=llq-2u+ll一在Q中，Up=0在aQ上一2U无穷多解的存在性，其中Q是Ⅳ中边界光滑的有界区域，，∈是两个参数在在关键词：非齐次拟线性椭圆方程；Orlicz—Sobolev空间；临界点理论．QMR(2000)主题分类：35J60中图分类号：O175．5

2、文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)02—217-10L冲1引言在本文中，(P)的多解性，其中Q是Ⅳ中边界光滑的有界区域，，∈是两个参数．假设(H1)(￡)∈([0，∞)，[0，。。))满足()>0，(())>0，t>0一得f≤：≤m⋯，t>0，其中()=(s)sds．在具体数学模型中，有许多例子满足上述的假设条件(HI)和(H2)收稿日期：2012—04-19；修订日期：2013—03—19E-mail：lzp@SXU．edu．cn基金项目：国家自然科学基金(11071149，11171204，11271264)、教育部高等学校博士点基金(20110

3、6118)和山西省自然科学基金(2010011001—1，2012011004-2)资助218数学物理学报Vl01．34A例1．1假设a>1，(t)=t_。，t>0．此时(H1)和(H2)成立，其中取l=m=．例1．2假设>1，>0，(t)=log(1+)。_，t>0．易知，(H1)成立．取2=OLm=+，由文献[1】知，(H2)成立．例1．3假设>1／2，()=2a(1+t2)一，t>0．由于lim一，故(H1)和(H2)成立．从上面三个例子可以看出，我们所讨论的问题可能包含非齐次的算子．对于含有齐次算子的椭圆问题，我们一般在熟知的Sobolev空间进行讨论．然而，对

4、于含有非齐次算子的方程，我们必须引入新的函数空间，即Orlicz—Sobolev空间．定义Orlicz—Sobolev空间的基础是Orlicz空间．在文献[2-3]和Luxemburg的博士论文[4]中，已对Orlicz空间做了详细的描述．用Orlicz空间圣(Q)代替Sobolev空间W，(Q)定义中的(【2)空间，就是所谓的Orlicz—Sobolev空间(Q)．许多Sobolev空间的性质可推广到Orlicz—Sobolev空间，读者可参阅文献[5]．在文献[6-8]中，Donaldson和Gossez开始利用Orlicz—Sobolev空间研究了非线性椭圆边值问

5、题解的存在性．最近，许多作者开始关注Orlicz—Sobolev空间并利用它来讨论一些数学模型，例如文献[9—13】．当()=t一0，OL>1时，利用临界点理论，单调算子方法和拓扑度理论，人们获得了许多有关方程(P)解的存在性结果。特别地，当=2，即()三1时，方程)是带有凸凹项的二阶半线性椭圆方程．Ambrosetii，Brezis和Cerami在文献f14]中讨论了这类有凸凹项的二阶半线性椭圆方程，并且得出：如果1

6、)对于任意的>0，∈，当()三1时，方程(7))存在一个解序列{，“)满足，(uk)．_÷+∞，k__÷∞；b)对于任意的>0，∈，当()三1时，方程(P)存在一个解序列{)满足，“()__+0，k__+co，其中()：(ll一)u∈日3(Q)当()=log(1+tZ)t一，t>0时，在文献[13]中，作者利用临界点理论讨论了方程(P)解的存在性，得出：c)假设=l，<0，q=．如果，>l，P0，=一1．如果，>l，P0使得当≥时

7、，方程)至少存在一个非平凡解．定义，(，“)：圣(Ivu1)d一J钆qdx-P钆∈魄(Q)。t，【2QPt／，nI钆ld，所谓u是方程()的解，是指对任意的∈(Q)，有厂Q(IuI)v钆．Vd=l[q-2u~dx+At／lf一2dNo．2梁占平等：具有凸凹项非齐次拟线性椭圆方程的多解性219我们的主要结论是定理1．1假设2，m∈(1，Ⅳ)，z≤m0，≤0，方程(P)存在一个解序列{“)满足，(“％)一。。，一。。．定理1．2假设z，m∈(1，Ⅳ)，f≤m