具有临界增长的半线性椭圆型方程的多解问题-论文.pdf

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1、数学物理学报2014，34A(4)：789--795http：／／actams．wipm．ac．cn具有临界增长的半线性椭圆型方程的多解问题张正杰郭留涛朱小琨(华中师范大学数学与统计学学院武汉430079；。华中师范大学学报(理科)编辑部武汉430079)摘要：考虑如下问题f一△f“=钆丙N+一。2+E．厂()，∈Ⅳ，lu∈D1,2(Ⅳ)，(z)一0，一∞，这里E是正常数，f(x)∈(Ⅳ)，Ⅳ为大于3的正整数．该文应用扰动方法证明了在f(x)适合一定条件下，存在EO，只要0<￡

2、B33中图分类号：O175．23；0175．25文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04．789—071引言本文我们研究如下问题{I∈D，。(N+Ⅳ2)，)+()0一。。．、这是一类具有临界增长的半线性椭圆型方程，这类问题具有广泛的应用价值和很强的理论研究意义(见文献[4-6，1314】)．由文献[4j可知，方程△札=．“，∈RN的所有解为=ⅣⅣ>0·这里CN=[Ⅳ(Ⅳ一2)]，该函数就是全空间上Sobolev嵌入不等式中最佳常数的达到函数．但是如果区域是有界的，则相应的Sobolev嵌入不等式中最佳常数是不可达的，同时无论区域是有界还是无界具有临界增长的Sobole

3、v嵌入不具有紧性，这就为研究这类具有临界增长的半线性椭圆型方程带来了一定的困难和广泛的研究意义．收稿日期：2012—07—12；修订日期：2013—11—25E—mail：zjz@mail．ccnu．edu．cn基金项目：国家自然科学基金(11071095，11371159)和数学物理湖北省重点实验室(华中师范大学)资助790数学物理学报Vo1．34A近二十年来有许多关于具有临界增长的半线性椭圆型方程的研究结果，其中具有代表性的文章为文献[5]，该文中Brezis和Nirenberg他们首先研究了如下问题∈．∈Q．(1．2)∈aQ这里l2是RⅣ中的有界区域(N3)，他们证明了：若N4，

4、∈(0，1)时上述问题的解存在；但N=3时问题变得相当复杂，若【2是球，当l∈(1，1)时得到了上述问题解存在，●●●●，，、●●●【以及【2是星型区域等特殊区域时的一些不存在结果()、是～△u在区域【2上的Dirichlet边一uu值条件的第一△特>征值一)．他们的研究结果引起了很多学者对这类问题的兴起，他们的研究方ll0，0，法为克服Sobolev嵌入紧性消失所带来的困难提供了一种有效的解决思路，随后产生了关于具有临界增长U的半线性椭圆方程方面很多有意义的研究结果(见文献[6，8-91等)．得到这些结果的主要研究方法有如下三种：一_(1)用变分原理得到相应变分泛函的临界点的存在性从

5、而得到相应问题解的存在性；一0和序列{)FⅣ+∈Ⅳ，{0}∈Ⅳ+∈R满足n>0

6、，II一+。。，且f(x)akVx∈B(Pk，r)(ii)存在序列{r)，{)适合r

7、，0()具有如下性质(1)，O()∈C(D1,2(Ⅳ)，)，其临界点集为一个非退化的流形)：一Ⅳ。这里Ⅳ=[N(N一2)]；(2)对所有的，{()线性算子(，∈())是紧的，且，∈)(，∈)=ker(，∈())．为了研究()的临界点，我们运用扰动方法转化为寻找()在流形，f上的极值点，为此我们构造一个K)、，∈的扰动流形并且^()在上的约束极值点，事实上就是L(u)在D1,2(Ⅳ)上的临界点，从而得到其相应椭圆问题(1．1)的解．首先我们定义如