具有间断系数的半线性双曲型方程在多维空间上的Cauchy问题.pdf

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1、目录mWiiAbstractiii第一章前言及本文的主要结论1第二章准备知识3第三章两个重要命题63.1—系列Sobolev不等式63.2半线性项的估计10第四章线性问题的情形13第五章定理的证明165.1定理1.1的证明165.2定理1.2的证明18参考文献19^ilt21摘要本文主要研究了多维空间上具有间断系数的半线性双曲型方程Cauchy问题局部解的存在性和唯一性：utt-a(y)/xu-uyy=f(u),ut=Q=0;ut

2、t=o=工,y),其中a(y)

3、Gcmin(

4、y

5、a，1)

6、nessofthelocalsolutiontotheCauchyproblemforaclassofsemilinearhyperbolicequationsinthemultidimensionalspace.(P):utt-a(y)Axu-uyy=/(w),ui=0=0，uti=0=ip{x,y).witha(y)GL°°(Rl),cmin(

7、y

8、a,1)

9、eexistenceanduniquenessoflocalsolutiontotheCauchyproblemoflinearhyperbolicequationsincludingdegeneratedtypeequationswithdiscontinuouscoefficients,usingaseriesofSobolevinequalities,then,byusingthefixedpointtheoremwegettheconclusionofthesemilinearhyperbolic

10、Cauchyproblemwithdiscontinuouscoefficients.Keywords:hyperbolicequation;Cauchyproblem:discontinuouscoefficient:localsolution;Fouriertransform.ClassificationCode:0175.2第一章前言及本文的主要结论从80年代起，对非线性偏微分方程奇性分析的探索就成为偏微分方程理论研宄中的一项重要工作.非线性偏微分方程解的奇性传播的种种现象，与线性方程的情形比起来更

11、丰富，更复杂.其中主要原因是非线性函数的作用将引起奇性干扰.按照对非线性方程的分类方法，若方程中未知函数的最高阶导数的系数与未知函数无关，则该方程称为半线性方程；若方程中未知函数的最高阶导数的系数与未知函数有关，但方程关于未知函数的最高阶导数为线性的，则该方程称为拟线性方程；若方程关于未知函数的最高阶导数也是非线性的，则该方程称为完全非线性方程.本文我们将着重探讨半线性方程的奇性分析.ChenS,X在文献[4丨中证明了，在多维空间中，Riemann问题解的存在性.随后又与FangD,Y共同探讨了具有光滑系

12、数的严格二阶双曲型方程在交叉间断初值条件下的Cauchy问题，见文献[3].文献[2]中，ZhangY,Q讨论了当a为正偶数时，具有不光滑初值的Cauchy问题的解的存在性.文献丨1丨中，ZhangY,Q给出了一维空间上具有间断系数的半线性Cauchy问题局部解的存在性和唯一性的结论.本文主要是在总结己有成果的基础上，将丨1丨中的问题推广到多维空间上的情形.方程如下I丄?丄J{uutt=to-=a{0y,)'UAt

13、:,t=uo-=Uyy=f{u),其中a⑷€而且满足cmin(丨1)

14、,6,a均为正数，f€C⑴且/(0)=0.为给出本文所讨论的函数空间，首先引入如下算子：对S€R、定义MD)=(1+

15、Aci

16、2)2---(1+.定义1丄7?={'ueeLHRh=(71.---,7.),0

17、7

18、

19、U,o,o=丨Mk2(ii"+iv定义1.