多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法

《多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、博士学位论文多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法HomotopyMethodsforFindingMultipleSolutionsofEllipticEquationswithPolynomialNonlinearity作者姓名：张旭平学科、专业：计算数学学号：指导教师：完成日期：10701035于波教授2013年6月大连理工大学DalianUniversityofTechnology大连理工大学学位论文独创性声明作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果．尽我所知，除文中已

2、经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用途使用过的成果．与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意．若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任．学位论文作者签名大连理工大学博士学位论文摘要在科学和工程中，很多问题的数学模型可以归结为半线性椭圆型方程或方程组。本文的主要目的是研究计算具有多项式非线性的椭圆型方程边值问题多个解的数值方法。我们吸纳了特征函数展开离散化方法、多项式方程组的同伦方法、有限元牛顿法这几种方法的优点

3、，将这几种方法有序地组织起来安放于不同求解阶段，设计了一套计算此类椭圆型方程边值问题多解的系统方法。本文包括以下几方面内容：1．为了求带多项式非线性的椭圆型方程的多个解，我们对其采用特征函数展开离散化，我们分析了其离散误差，得到误差的H1估计和L2估计。基于离散误差估计，我们设计了一个新的过滤策略以剔除离散化方程组的可能的伪解，该策略不依赖于解的性质，同时还可以提高非伪解的精度。对于过滤后的解，我们再采用有限元牛顿法进一步提高精度。2．对于特征函数展开离散化得到的多项式方程组，当所用特征函数个数增加时，求全部解

4、的标准同伦方法效率不高。为了快速求解某离散水平Ⅳc上的多项式方程组，我们利用其结构，对在Ⅳc之前的逐次加细的水平上的方程组构造形变，设计了扩张同伦算法，在前一水平上多项式方程组的全部解求得之后，后一水平上多项式方程组的全部解可以利用前一水平的全部解快速求得。我们分析了该同伦所确定路径的光滑性和可达性。3．我们证明了陈传淼和谢资清提出的一个猜想，此猜想断言，关于三次非线性椭圆型方程一△乱=U3，当特征函数展开法中所采用的有限维子空间是相应于一个Ⅳ重特征值的特征子空间时，离散化问题至少存在3Ⅳ一1个非零实解，我们将

5、它精确化为恰好存在3Ⅳ一1个非零实解。我们研究了将此猜想的结论推广到三维三次非线性情形和二维五次非线性情形，并得到了初步结果。另外，我们还得到与此相关的二维单位方块和三维单位立方体上Laplace算子特征值的所有可能重数的结果。4．对于二维单位方块上多项式非线性椭圆型方程，我们证明了特征函数展开离散化问题的解集继承了边值问题解集的对称性。根据解集的对称性，利用已证明的陈一谢猜想和陈一谢猜想五次非线性情形的类似结果，我们分别构造了对称同伦以快速计算具有一般三次非线性和一般五次非线性的椭圆型方程的离散化多项式方程组

6、的全部解。由于对称同伦法只需跟踪代表解路径，因而可以节省很多计算量。5．牛顿法是求解非线性代数方程组的经典方法，然而这种方法对初始猜测的要求非常高，即只具有局部收敛性。阻尼牛顿法和牛顿同伦法是两种改进牛顿法的全局化方法。从决定这两种算法所跟踪路径的微分方程的角度看，这两种方法所要儋行的相轨线是一致的，然而从算法实际执行的角度看，这两种方法所产生的迭代序列却是不同的。我们分析了阻尼牛顿法和牛顿同伦法，从迭代序列的前进方向和前进步长两方面讨论这两种方法的区别和联系。多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法关键词：半线性

7、椭圆型方程；多解问题；特征函数展开法；误差分析；多项式方程组；同伦方法大连理工大学博士学位论文HomotopyMethodsforFindingMultipleSolutionsofEllipticEquationswithPolynomialNonlinearityAbstractSemilinearellipticequationsorellipticsystemsofequationsariseinmanymodelsinscienceandengineering．Themainfocusofthisdi

8、ssertationisonnumericallyfindingmul—tiplesolutionsofellipticequationswithpolynomialnonlinearity．Itcontainsthefollowingaspects．1．Eigenfunctionexpansiondiscretization(EED)isconsideredforfindingmul