大范围求解非线性方程组的指数同伦法

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1、2014年5月计算数学第36卷第2期May，2014MATHEMATICANUMERICASINICAVo1．36，No．2大范围求解非线性方程组的指数同伦法)夏林林(四川师范大学数学与软件科学学院，成都610066)吴开腾z)(内江师范学院四川省高等学校数值仿真重点实验室，四川内江641112)，-l_____lJC、l●_Ill【摘要为了解决关于奇异的非线性方程组求根问题，提出了一种由同伦算^法推尼出大范围收厶敛的连续型方法一指数同伦法，构造了一类指数同伦方程，克服了Jacobi矩阵的奇异，分析了指数同伦方，，程解的

2、存在性与收敛性．通过数值实验，验证了指数同伦法的可行性与有现效性．●●●现，关键词：指数同伦法；同伦算法；存在性；收敛性MR(2000)主题分类：65H101．引言考虑下述非线性方程组，X)=0，，Xn)：0，(1．1)·，X)=0其中^(=1，2，⋯，礼)是定义在n维欧氏空间中区域J[)上的实值函数引进向量记号，令fl(X)10．厂2(z)X20F(x)_∈R．0=(1．2)：^()0则方程组(1．1)可写成F(x)=0．(1．3)这里Y(x)表示礼维区域DcR_÷R”的非线性映射，也称为向量值函数．近年来非线性方程组

3、的数值解法不断发展，尤其是大范围收敛算法在科学研究，工程计算，生物应用和金融管理学等领域占有很重要的地位[1-5]．其中同伦算法是一种大范围收敛算法，为收敛较快的精确化方法[6-10]提供足够接近的初始值，但因奇异问题很难克服，同时预先也不知道奇异点的位置以及奇异情况的复杂性．故针对克服奇异性的问题，一些作者曾做过2013年8月29日收到．)基金项目：四川省教育厅创新团队计划项目(13TD00001)。)通讯作者：吴开腾，Email：ktengwu@njtc．edu．ca．216计算数学2014住深入探讨，李受白_1lI

4、提出了函数因子法将函数F(x)乘一个矩阵因子的方法，P．M．Anselone和R．H．Moore[1提出了对同伦方程的参数进行变量代换的方法，F．H．Brain[13】提出了根据F(x)Jacobi行列式的符号确定微分方程右端符号的方法，对非线性方程组求解起到了极大地推动作用，但是奇异性问题仍然存在，有待于众多学者专家进一步研究解决．本文提出了一种由同伦算法推出大范围收敛的连续型方法一指数同伦法，不仅使产生的新函数的Jacobi矩阵非奇异，而且计算量很小，达到了新函数的零点与方程(1．3)的解一致，通过数值算例表明，效果

5、较好．本文框架结构大致如下：第二部分介绍指数同伦方程构造，第三，四部分在适当的约束条件下，分析指数同伦方程解的存在性与收敛性，第五部分通过数值算例与其他方法比较，证明此方法的可行性与有效性．2．指数同伦方程的构造引进参数t∈[0，]，构造同伦算子H：D×[0，T]CRXRR，使日满足H(xo，0)=0，H(x，T)=F()，(2．1)这里可为正实数或+。。，当_÷+∞时以极限代替求值．于是求F(x)=0的解转化为讨论同伦方程H(x，t)=0的解X=()．若x(t)在[0，T]上连续，则原非线性方程组(1．3)的解=x(T

6、1．考虑同伦方程H(x，s)=F(x)+(s一1)P(x)=0，s∈[0，1]．X∈D，(2．2)当s=0时，H(x，0)=F(x)一P(x)=0的解为Xo，当s=1时，H(x，1)：F(x)=0．同伦方程的选择方法很多，最常用的是P(x)=F(xo)，得到同伦方程H(x，s)=F(x)+(s一1)F(xo)=0，s∈[0，1]，X∈D，(2．3)当(，s)=F(z)奇异或接近奇异时，即F(z)奇异，用Newton法以及一般同伦法等方法难以进行．于是，这里构造一种新的同伦方程克服Jacobi矩阵奇异．令P(x)=G(z)

7、F(0)，其中C(x)=diag(e一)，i=1，2，⋯，礼，此处diag(e一)是以e～。为主对角线元素，其他元素ii为0的对角矩阵，，“是参数，显然，a(x)对任意∈R非奇异，则有e-“10．．．0^(o)e-uxfl(Xo)0e-”2⋯0．厂2(0)e-ux。，2(xo)p(x1=(2．4)00⋯e-“n^(xo)e-UXn(XO)于是同伦方程(2．2)可写为H(x，s)=F(x)+(s一1)diag(e一“)F(xo)0，s∈【0，1]，∈D(2．5)i若作变换s=1一e～，得日(z，t)=F(x)一e一diag

8、(e一“。)F(o)=0，t∈[0，+。。)，∈D(2．6)i2期夏林林等：大范围求解非线性方程组的指数同伦法217于是求解F()=0的问题转化为讨论同伦方程H(x，￡)=0在t_÷+。。时的解(￡)(_÷+∞)，X为原非线性方程组(1．3)的解，称(2．6)为指数同伦方程．由指数同伦方程(2．6)，可以得到如下等价