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1、DOI:10.13885/j.issn.0455-2059.1980.04.004求解非线性方程组的割线法王德人摘要本,,)(文提出了求解非线性方程组二。的一般钊线法的建立过程得到了一个更为一般的钊线程序并利用,,已得的结果给出了两个有效葬法它们比之两点序列钊线法「`1和(n下l)点序列钊线法等f’]在计算量方面或是在收敛速度方.,.。面更为优越最后我们证明了井法的局部收敛性与收敛速度亦进行了其法的有效性分析对于非线性方程组F(X)二O(1)””,:””。其中F为给定在区域DCR上取值于R的向量值函数简记为FD二R,RF(X)=,,,”`。的各分量if(X)i(12…
2、n)为定义在区域DOR上取值于R的实值函数我们建立rc。,了两个不依赖于F的Fehe’导数的新的迭作算法通过算法的有效性分析证明我.们的新算法比起已知的离散牛顿法、.两序列割线法、(n+1)点序列割线法以及点,。一Seensen`”n,rent一Browntff方法等均为优越当维数较大时新算法还优越于B方!。,,法(m=1)的情形别对于新算法的局部收敛性文中作了严格论证还得到敛速阶,。,的估计这是算法有效性分析的基础在本文的第一段中我们建立了一类极为广泛的,它。迭代程序是为引出新算法而建立的(一)二类拟牛顿法熟知的近似解方程组(1)的牛顿法有形式,:,一’,,,Xk=
3、Xk一〔F(Xk)〕F(Xk)(k=0l…(2)X。,F产(X=“co。为给定的初始近似k)为在XXk处F的Jib矩阵如果在某种近似意义,k,2)上将F,(Xic)用矩阵A近似替代则(有形式,二一一二;,1,X卜XkA灸(FXk夕(k0…(3)我们称迭序(3)为拟法;瘫牺取必的近似矩的是多种多样拟牛顿方程蔚呱灿磁今产蜘F(Y)一F(X)=A(Y一X)(4),。出发去建立这种近似关系务齐于妻亨80年3月注习日收至。)第碑期,`录解菲线桂方程组的割线接乏于,k,Zn`X,i,,i=1,2,为此假定X为已知且在其附近取个点kYk(i…一,,,,,。,知F(Xki)F(Yk)
4、i(i=12一)n今让方程(4)在此2n个点上满足=,AAk则得,,.F(Yi一ki=女,i一,i=,2,,nk)F(X)Ak(YX女)(iz…)(5)若引进表示“k,,一,,,,k,n一,n△Xk〔YXk…YXk〕=k,:一,:,,,。一,。△Fk〔F(Y)F(Xk)…F(Yk)F(Xk)〕△X,nXn,k△Fk分别是阶矩阵于是(5)可表示成下面的矩阵方程△Fk=Ak△Xk(6)由此容易看,k,出若矩阵△X非奇异则由(6)可唯一确定A=一`k△Fk(△Xk)(7),,又若△Fk非奇异财Ak有逆且有=△X一`A了*(△F、)3)和(,·今使(7)联立得十;二一一kXk
5、X:A立F(X)n(k岁)(8)A=.’k△Fcl(△Xk)。我们特别称拟牛顿程序(8)为广义割线程序,i,,i二1,,,。因为矩阵△Xk,△Fk的确定完全取决于F和2只个点X补Yk(i2…)n’所以对Zn个点的不同选择,可以得到一个矩阵类笼,`其中任一矩阵Ak,A砂均对应着一·。,,,个迭代程序(8)因此要取得有效性高的算法只需对给定的万适当选择Zn个点便。可得到(二)2尽个点的具体选择,=1,,,n(I)点组Xk;(i2…)为震合的情形,在〔土〕中定义了一般割线法它是取点为,i”XkXk_,i(=1卜2二伙)n,i=,s!YkYk,,此时△Xk△Fk分别有形式=,
6、;一,,n一△Xk〔YkXk…YkXk〕(9),。k“z:,z一,,F*F(x、)〕(10)△F〔F(Yk)F(Xk)…行卜,s,,由(9)(10)可得Ak将它记为A龙有s,=一’A止△Fk(△不k)3)联。将它与(立即得24兰州夭孚李报级年月,,s,,*,:=:=,二,nn容易看出由(9)(20)确定的A麦是XX(iz2)个点重合的情。s,。况下得到的所以矩阵类{A止}是{Ak}的一个子类s,},在矩阵类{A走中我们可进一步取得一些有效的特殊算法i()两点序列割线法如取,i=+es=,,,nYkXkI任k(i12…)(11)其,k中矩阵H可取为IJ、二Dag(hk’
7、,趾,,k,,七,i;…h孟)h;一h孟子。e=o,,0,i,o,,o〕了〔……,显然此时所得的△x=ag(hk,,,k,,k)hkDi;…h孟)h;监k,笋。(22)是非奇异的,于是可得矩阵AlS’_止,,._、,、二tt(51)=1。v二A,.’.气r、k宁工飞kel少一r气Ak少少5,〔瓜fA—k)l一k+ke。)一F(X一卫一(F(xHk))〕(13)仁(k),特别若在(12)中取hk,=x*`k一`,一x孟,,=,,,n4)厂扩(i12…)(1x一`’,k:,。,产,分别为向量X卜从的第峥分量将(13)与(3)联立便得到〔1〕中材。的两点序
