高维非线性演化方程孤立波的同伦分析法求解

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1、http://www.paper.edu.cn第56卷第12期2007年12月物理学报Vol.56,No.12,December,2007100023290P2007P56(12)P6791206ACTAPHYSICASINICAn2007Chin.Phys.Soc.3高维非线性演化方程孤立波的同伦分析法求解1)2)•1)2)2)石玉仁汪映海杨红娟段文山1)(兰州大学理论物理研究所,兰州730000)2)(西北师范大学物理与电子工程学院,兰州730070)(2006年11月1日收到;2007年3月23日收到修改

2、稿)利用同伦分析法求解了修正的Kadomtsev2Petviashvili方程,得到了它的近似孤立波解,该解与精确解符合得非常好.结果表明,同伦分析法在求解高维非线性演化方程的孤立波解时,仍然是一种行之有效的方法.关键词:同伦分析法,修正的Kadomtsev2Petviashvili方程,孤立波解PACC:0340K,0290[31][32]多孔介质中的黏性流动、非牛顿磁流体流动、[33][34]11引言深水中的非线性波、Thomas2Fermi方程、Lane2[35][36,37]Emden方程、非线性演化方

3、程的周期解等.随着科技的进步,非线性科学得到了飞速的发这些成功应用的例子表明,同伦分析法具有广阔的展.作为非线性科学重要分支的孤子理论也获得了应用领域,对于解决很多非线性问题是行之有效[1]快速发展,并被广泛应用于量子场论、凝聚态物的.关于该方法的更多介绍,请参看文献[26].但[2][3,4][5—7]理、流体力学、非线性光学、等离子体物就作者所知,用该方法求解高维NPDE孤立波解的[8,9]报道似乎很少理等物理学领域内,引起了很多物理学家和数.学家的兴趣.众多学者在研究(1+1)维、(2+1)维(2+1)维

4、修正的Kadomtsev2Petviashvili(mKP)方可积模型的同时,也在探索(3+1)维甚至更高维的程如下:32可积模型,并取得了一定的成就[10—14].一般情况99u29u9u9u+αu+β3+γ2=0,(1)9x9t9x9x9y下,这些模型可以用非线性偏微分方程(NPDE)很其中α,β,γ为常数.mKP方程可用来描述无磁场好地描述.所以对NPDE的求解,就成了孤子理论情况下双温离子尘埃等离子体中孤子受到横向扰动的一个重要组成部分.但由于高维可积模型的复杂[39]时波的演化.本文用同伦分析法求解方

5、程(1),性,求得它的精确解非常困难.近年来,很多学者得到它的近似孤立波解,该解与精确解符合得特别又提出了许多新的求解NPDE的方法,如齐次平衡[15—18][19—22]好,表明该方法在求解一类高维非线性演化方程的法、双曲函数法、sine2cosine方法、Jacobi椭[23—25][26—38]孤立波解时仍十分有效.圆函数展开法、同伦分析法等.这些方法都可以借助近年发展起来的计算机代数系统得以部分甚至完全实现,从而大大提高了工作效率.21同伦分析法求解mKP方程同伦分析法是一种新的、一般性地求解强非线性问

6、题的解析近似方法.它在方法上彻底抛弃了小考虑方程(1)的行波解参数假设,从根本上克服了传统摄动法的局限性;u(x,y,t)=f(ξ),(2)在逻辑上包含了其他“非摄动方法”,从而更具一般ξ=k1x+k2y-ωt+ξ0,[26]性.该方法被成功用于解决科学研究中的许多非其中(k1,k2)是波矢,ω是波的圆频率,均未知;ξ0[27,28][29,30]线性问题,如非线性振动、边界层流动、是任意常数,影响波的相位.此时(1)式变为3国家自然科学基金(批准号:10247008)资助的课题.•E2mail:shiyr04

7、@lzu.cn转载中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn6792物理学报56卷232k1[-ωf′+αk1ff′+βk1fÊ]′+γk2f″=0,(3)时,F(ξ,q)从f0(ξ)变为方程(4)的解f(ξ),同时dC(q),Λ(q)也从某个初始猜测值c0,λ0变为方程其中撇号表示.(3)式两边对ξ积分一次,并取积dξ(4)中的c和λ.若变化过程足够光滑,则F(ξ,q),分常数为零,得C(q)和Λ(q)可以展开为q的Maclaurin级数.如2-cf′+αff′+βλfÊ=0,(4)果这三

8、个级数在q=1点都收敛,则有其中f(ξ)=F(ξ,q)q=12ωk2+∞mc=-γ2,19F(ξ,q)k1k1=F(ξ,0)+∑mm=1m!9qq=02λ=k1.+∞下面利用同伦分析法求解方程(4)的钟形孤立波解.=f0(ξ)+∑fm(ξ),(11)m=1在求解之前对方程(4)的解进行一些分析很有c=C(q)q=1必要.不失一般性,设ξ=0时波达到峰值,其幅值+∞m为A,则f(ξ)满足