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1、文章编号:1001O4373(2008)03O0138O04求解高维非线性方程的一种简便方法31122郭 鹏, 张 磊, 石玉仁, 洪学仁(1.兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州 730070;2.西北师范大学物理与电子工程学院,甘肃兰州 730070)摘 要:将试探函数方法扩展应用于求解高维非线性偏微分方程.通过引入变换和选准试探函数,把难于求解的高维非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而简洁地求得了方程的解析解.关键词:试探函数方法;KP方程;(2+1)维BBM方程;(3+1)维ZK方程;解析解中
2、图分类号:O175.24文献标识码:A 对非线性偏微分方程的求解,长期以来是物理引进如下坐标伸展变换学家和数学家研究的重要课题.三十多年来,数学物ξ=k1x+k2y+k3z-ct,τ=t,(2)理研究领域内一大成就就是提出了许多求解非线性其中,k1,k2,k3,c均为常数.将式(2)代入式(1),此偏微分方程的精巧数学方法,如逆散射法、B¾cklund时式(1)形式上变为(1+1)维非线性偏微分方程变换法等.近年来,很多学者又提出了许多新的方N(u,uτ,uξ,uττ,uξξ,uξτ)=0.(3)[1,2][3]法,如齐次平衡法、双曲函数法、
3、Jacobi椭圆函为了求解式(3),再引入变换[4,5][6]2数展开法、同伦分析法等.然而,对非线性偏微9lnP,P=(b+f2)n,f=ekξ-ωτ,u=u0+2分方程的求解仍是很困难的,并且没有统一而普适9ξ(4)的方法,以上一些方法也只能具体应用于某个或某其中,k为波数,ω为波速;u0,b,n为待定常数;P和f些非线性方程的求解.因此,继续寻找一些有效可行为试探函数.将式(4)代入式(3),就可将非线性偏的方法仍是一项十分重要的工作.在文献[7～10]中微分方程化为非线性代数方程,然后用待定系数法提出了一种简洁的求解非线性偏微分方程的新
4、方确定相应的常数,最后可方便的求得其指数函数解、法,即试探函数方法,并用该方法成功求解了几类非孤波解与三角函数周期波解.下面应用该方法来求线性方程.解几个非常重要而有实际意义的高维非线性偏微分本文将试探函数方法扩展应用于求解高维非线方程.性偏微分方程.通过引入变换和选准试探函数,将难于求解的高维非线性偏微分方程化为易于求解的代2高维非线性偏微分方程的求解数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而求2.1KP方程得方程的指数函数解、孤波解与三角函数周期波解.考虑KP方程应用该方法,本文得到KP方程、(2+1)维BBM方2uxt+αux+βuux
5、x+γuxxxx+δuyy=0.(5)程以及(3+1)维ZK方程的解析解.结果表明这种取式(2)变换中k3=0代入式(5)可得方法是简洁而有效的.22224k1uξτ+αk1uξ+βk1uuξξ+(δk2-ck1)uξξ+γk1uξξξξ=0.1 方法简介(6)再由式(4)可得考虑高维非线性偏微分方程224nbkfN(u,ut,ux,uy,uz,utt,uxx⋯)=0.(1)u=u0+22,(7)(b+f)3收稿日期:2007O11O09基多项目:国家自然科学基金资金资助项目(10575082)作者简介:郭鹏(1978O),男,陕西富平人,硕士
6、.转载第3期郭鹏等:求解高维非线性方程的一种简便方法93122(f22228nbwkf-b)144γk1ksech(kξ-ωτ)uτ=23,(8)=(b+f)5α+7β8nbk3f2(b-f2)243k1ω-k(δk2-ck1)-4γk1kuξ=(b+f2)3,(9)2+βk1k4222416nbkf(b-4bf+f)288k2γk2uξξ=24,(10)1,(20)(b+f)(5α+7β)[cosh2(kξ-ωτ)+1]32224u16nbwkf(-b+4bf-f),(11)当b=-1时,ξτ=24(b+f)243k1ω-k(δk2-ck1)
7、-4γk1k32nbk5f2(b3-11b2f2+11bf4-f6u2=2-uξξξ=25βk1k(b+f)222144γk1kcsch(kξ-ωτ)(12)=5α+7βuξξξξ=243k1ω-k(δk2-ck1)-4γk1k6243224682-64nbkf(b-26bf+66bf-26bf+fβk1k(13)26(b+f)22288kγk1,(21)将式(7～13)代入式(6)可得代数方程(5α+7β)[cosh2(kξ-ωτ)-1]42424-k1ωb+(δk2-ck1)kb+βk1ku0b+当b=1,k=ik′,ω=iω′时,4γk4
8、3×b4+[2k32324′31k1ωb-2(δk2-ck1)kb+k1ω′-k′(δk2-ck1)+4γk1ku3=2-4αk23k3+4βk23n
