求解非线性方程组的方法研究

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2、描等复制手段保存和汇编本毕业论文。声明人签名：导师签名：                                    Ⅰ摘要如今，随着现代科学技术的飞速发展以及计算机的广泛普及，非线性的问题成为了工程应用领域和数值计算中重要的研究内容。因为在工程实践、经济学、信息安全和动力学等许多领域中被涉及的越来越多，并逐渐占有不可缺少的地位。传统的求解非线性方程组的方法包括牛顿法、拟牛顿法、梯度法等方法。近年来，在优化领域里诞生了许多运用仿生学的优化算法，如粒子群算法、遗传算法、鱼群算法等等。上述所说的方法各有各的优缺点。根据算法

3、的原理，说明牛顿法、拟牛顿法，遗传算法的使用方法，利用Matlab对方程组进行编程，对比三种算法的数值实验结果，讨论三种算法的优劣势。关键词：非线性方程组牛顿法拟牛顿法遗传算法Ⅰ目录摘要11绪论11.1研究目的及意义11.2国内外研究现状11.3本文的主要工作22求解非线性方程组的方法介绍32.1牛顿法32.2拟牛顿法63遗传算法103.1遗传算法的来源103.2遗传算法的思想103.3遗传算法的实现103.4小结154总结与展望164.1总结164.2展望16参考文献17致谢18Ⅰ昌吉学院2016届本科生毕业论文（设计）1绪论

4、1.1研究目的及意义如今，随着现代科学技术的飞速发展以及计算机的广泛普及，非线性的问题成为了一个基本而又重要的问题，因为在工程实践、经济学、信息安全和动力学等等许多领域中被涉及的越来越多，并逐渐占有不可缺少的地位。以致寻找一个好的方法逐渐成为工程应用和数值计算中重要的研究内容[1]。随着对工程数学计算精度的要求越来越高，使研究非线性方程组的求解取得了突破性的进展，从而逐渐成为现代数学研究的一个分支，是解决实际问题的一个重要学科。对于非线性方程组的实际问题，在很多情况下不必求出方程组的真实解，而是只需求得一个近似值，此近似值可以通

5、过数值方法来获得，当然此近似值与真实解之间的误差应该控制在实际问题所能接受的范围之内。从而，研究非线性方程组的数值解法有着重要的理论意义和实际应用价值[2-3]。目前，关于求解非线性方程组的数值方法研究比较广泛，传统的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法、梯度法等方法[4]，但这些方法存在着收敛性差、初值不敏感等不足。人工智能算法[5]是近几年研究的一种新方法，它广泛应用于智能控制，信息安全等方面。本论文通过传统方法与遗传算法[6]的比较，阐述遗传算法在解决实际问题中的优势。1.2国内外研究现状目前国内外求解非线性方程组已有多种解法，如

6、牛顿迭代法、大范围收敛法、人工智能法[7]等。其中最常用、最基本的是牛顿迭代法，牛顿迭代法在理论上已经达到了比较成熟的阶段，各种以牛顿迭代法为基础的高级收敛法也得到了不断地完善。牛顿法又叫迭代法，最初是由物理学家艾萨克·牛顿于1736年在MethodofFluxions中公开提出。而事实上该方法已经由JosephRaphson在1690年在AnalysisAequationum中提出。牛顿法是一种在实数域和复数域上求方程近似解的方法[8]。在方程的根附近有平方收敛是此方法一个很大的优点，此方法也可以用来求非线性方程的重根和复根。

7、另外该方法可以用Matlab来进行数值实验。本文也介绍了牛顿法的Matlab编程。拟牛顿法(Quasi-NewtonMethods)于20世纪50年代由美国Argonne国家实验室的物理学家W·C·Davidon所提出来。这被认为是求解非线性优化问题最有效的方法之一。不久R·Fletcher和M.·J·D·Powell证实了这种新的算法远比其他方法快速和可靠，使得非线性优化问题在此后的飞速发展。拟牛顿法要求每一次迭代时都要得到函数的梯度。通过计算梯度的变化，构造一个目标函数的模型使函数具有超线性收敛性。这类方法大大优于最速下降法

8、，尤其对于困难的问题。另外，因为拟牛顿法不需要求得目标函数的二阶导数，所以有时拟牛顿法比牛顿法更为有效。遗传算法是一类借鉴生物界的进化规律（适者生存，优胜劣汰遗传机制）演化而来的随机化搜索方法[9]。它是由美国的J.Holland教授197517昌吉学院2016