半线性椭圆型方程多解计算的goldstein型minimax方法

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1、致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(39)湖南师范大学学位论文原创性声明半线性椭圆型方程多解计算的Goldstein型Minimax方法第一章引言弟一早亏I百§1．1前言非线性偏微分方程被广泛地用来描述物理、化学、生物、工程、医学等领域的许多科学问题。如在200多年前Euler提出的细杆纵向受压的稳定性问题、量子力学中著名的Schr6dinger方程、天体物理中的Lane—Emden方程、超导中的Ginzburg-Landau方程等都是非线性偏微分方程(【51，[61)。利用非线性偏

2、微分方程来描述上述问题能够充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因此能更准确地反映实际问题。但是这些方程的研究一般都很困难，因为它们通常是非正定的或没有凸性。这些方程可能只有一个解，也可能有多个解，甚至可能有无穷多个解。这些解有的是稳定的，有的是不稳定的，其中不稳定解可能对应物理上的某种激发态，具有重要的实际应用价值。非线性偏微分方程多解的多重性和不稳定性，给数值计算和理论研究带了许多困难。因此，如何在数值计算上用稳定的算法来计算不稳定的解，并给出相应的理论分析，具有深刻的理论价值和实际意义。本文主要

3、讨论半线性椭圆型边值问题!△让(z)+，(z，u(z))=o，z∈Q(1-1)【乱(z)=0，z∈aQ的多解，这里△=∑羔，嘉是拉普拉斯算子，Q是舻中具有光滑边界讹的有界区域。非线性项f(x，u)满足如下基本假定：(h1)f(x，u)在Q×R上局部Lipschitz连续；(h2)f(x，u)超线性增长，即存在正常数a。和a2，使得lf(x，让)I≤al+a2[u[5，其中o≤s<忑m+2，m>2。当m：2时m—ZIf(x，u)I≤al∥(训，1湖南师范大学2014届硕士学位论文超二当M-÷∞时≯(

4、")让一2斗∞(h3)当u_Ol耐ff(x，乱)=o(1乱I)；(h4)存在正常数p>2及充分大的常数M≥0，当川≥M时，有次增长，即0

5、泛函的I陆界点。一般说来，临界点既不是极大点也不是极小点，我们称之为鞍点，即，(钍·)=0，在u+的邻域N(u+)∈H存在秒，W使得J(v)

6、定义为：MI(u‘)=dim(H一)，即泛函J(u)在临界点让+的下降方向构成的最大子空间的维数。Morse指标是一个非常重要的概念，它可以用来衡量临界点的稳定性。一般地，临界点的Morse指标越高，临界点就越不稳定。如果H0：{o)，则u·是非退化的；反之，矿是非退化的。从上可知，对于非退化的临界点让·，如果M，=0，则它是一个局部极小，是一个稳定的解；如果M，>0，则它是一个鞍点，是不稳定的。方程(1．1)是一类典型的Henon方程，其解的存在性以及多解性等理论工作已有比较多的研究，其多解的数

7、值计算方法也吸引了一大批研究者的关注。2半线性椭圆型方程多解计算的Goldstein型Minimax方法1973年A．Ambrosetti，P．Rabinowitz(f11)通过构造一个形变来建立的“山路定理”是现代I晦界点理论的基础，是非线性分析的一个里程碑。形象地说，就是在一个环形山围绕的盆地中，从盆地中心出发到盆地外部的所有道路中，必有一条道路从环形山的最低点越过，这个最低点就是一个临界点。沿道路在此点的切向和法向导数都是零，故，(u)：0，即求解泛函J的鞍点可以描述为求解一个两层优化问题山

8、路定理一建立就被广泛的用来研究非线性偏微分方程的多解，如半线性椭圆型问题(1—1)。但是山路定理只在很一般的框架下给出了半线性椭圆型方程多解的存在性证明，而这些解有什么样的分布和结构仍然不清楚。如何去计算它们更加困难，因为计算上需要求解一个两层的全局优化问题(第一层是全局最大化，第二层是一个全局最小化)。1993年Y．Choi和P．Mckenna(f11])提出的山路算法(MPA)可以找到Morse指标为0或者为1的两个解。当区域关于舻中的某个超平面对称，且非线性项，(z，u)关于