椭圆型方程的差分方法

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1、第三章椭圆型方程的差分方法3.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟3.2Neumann边值问题的差分模拟3.3混合边值条件3.4非矩形区域3.5极坐标形式的差分格式3.6矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析3.7一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究(3.1)其中，系数a(x,y)，b(x,y)，c(x,y)满足(3.2)对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：第一边值问题，或称Drichlet问题设是平面中的具有边界的一个有界区域，本章考虑如下椭圆型方程的差分解法：第二边值问题，或称Neumann问题第三边值问题，或称Rob

2、in问题其中3.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟设Ω为正方形区域，0

3、2Neumann边值问题的差分模拟现在我们考虑Laplace方程Neumann边值问题，即(3.10)表示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方形的四个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定义。且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如果u(x,y)是式(3.10)的解，于是，u(x,y)+C(C是一个任意常数)也是其解。为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域中某一点上的值。Neumann边值问题(3.10)的解存在，仅当Neumann边值问题的差分模拟先在区域Ω中给定一个正方形网格区域，步长为h，Mh=1,于是必须确定解的

4、结点为个，结点上的差分方程的解为（3.12）在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：在x=0上的导数边值条件的差分模拟为（3.13）这里。在五点差分格式(3.12)中令l=0，于是有代入式(3.13)，则即（3.14）同理，在x=1,y=0,y=1时分别有（3.15）（3.16）（3.17）在四个顶点上，有由此，正方形区域的个结点上差分方程解满足线性方程组这里A是阶方阵I是(M+1)阶单位方阵；是如下(M+1)的阶方阵：AU=2hg(3.18)方程组(3.18)中的向量U和g由以下给出：例3.1在单位正方形区域Ω上解Laplace方程Neumann问题解令h=1/2，

5、应用图3.2中结点次序，则方程(3.18)为(3.19)或简写成AU=2hg。显然A是一奇异矩阵。3.3混合边值问题在xy平面的某区域Ω中，未知函数u满足Laplace方程，将边界分成若干弧段，要求u在每一弧段上满足不同类型的边界条件。讨论此类定解问题的差分模拟。例如，求解如下定解问题：是给定的函数。（3.21）在求解区域Ω内由逼近Laplace方程的五点差分公式给出函数u在结点(lh,mh)的近似值所满足的差分方程。对于在x=0上的结点(0,mh)，应用边值条件的差分模拟和五点差分公式，即（3.22）消去，得相似地对于y=0上的结点(lh,0)，我们有(3.23)其中，。在原点(

6、0,0)上，两边值条件相遇，则消去和,则(3.24)且对l=0和m=0上成立的方程(3.22)，(3.23)用1/2乘之，对l=m=0上的方程(3.24)用1/4乘之。这样在整个计算区域及相应边界网格点上建立了差分方程：下面把所有差分方程写成矩阵形式，于是U满足方程AU=hg(3.25)令其中矩阵A为阶对称方阵。是M阶方阵。其中而g依赖于函数,和g在边界结点上的值。3.4非矩形区域当区域Ω为具有边平行于网格线的矩形，则在所有区域内部结点上，可以采用同样的差分格式逼近椭圆型问题。当Ω是非矩形区域，则在如图3.3所示的邻接边界的内部结点(l.m)上，需采取特别的处理方法。由解u在结点(

7、l,m)上的Taylor展开可得为了获得Laplace方程的差分逼近，在上面四个式子中消去一阶偏导数项，则分别给出因此Laplace方程的五点差分格式为(3.26)其中显然，当时，式(3.26)化为五点差分格式(3.6)。3.5极坐标形式的差分格式如果求解区域是圆域、环形域或扇形域，采用极坐标是方便的。由得到：将Poisson方程由直角坐标系变换到极坐标下为(3.27)这样可以将所求解区域映射为平面上的半条形区域。方程(3.27)的系数当r=0时具有奇异性，因此，为了