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《椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、目录1引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理4.2建立第三边值条件的虚功原理型方程非齐次边值问题的变分形式1引言很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的，在变分过程中增加了未知函数导数的阶数.反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函，使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说，变分法最终
2、寻求的是极值函数，它们使得泛函取得极大或极小值.变分原理在物理学中，尤其是力学中有着广泛运用，如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等，几乎所有的H然定律都能用变分原理的形式予以表达.在当代变分己成为冇限元法的理论基础，是求解边值问题的强力工具.2椭圆型方程第一边值问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题：一V(々Vv)+汉/=/，(x，)，)eG，(1.2)f/
3、「=G，其中r是边界，G是平面区域k=k(x,y)gc1(G),min〉0，GC(G),ct>0,/gL2(GgEC(r)，dxoxoydy定义：//，(/)={/
4、/EL2(/),/，EL2
5、(/)}/=(tZ,/7)在解决第一边伉问题的变分形式的过程中，我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式，再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们耑要考虑如卜‘结果：极小位能原理，虚功原理,格林策一公式H格林第一公式：G是xy平面上的一有界区域，其边界r为分段的光滑曲线，为曲线r的单位外法向fi，■^是W沿A2的方叫导数，则有:dnJ(-△柏.P普dudxdxdydydni，=0,(2.1.4)定义：J(u)=—a(u,u)-(f,u).-2-2其中A是Laplace算符+dy2极小位能原理：设仏eC2(d)是边值问题(2.1.3)，(2.1.4
6、)的解，则wj史J⑻达到极小.，反之，若使J⑻达到极小，则仏是边值问题(2.1.3),(2.1.4)的解.虚功原理：设weC2(G)，贝ihr满足(2.1.3)，(2.1.4)的充要条件是：託且对于任意ve满足变分方程，a{u,v)-(/,v)=0.2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理(1)极小位能原理：设％eC2(d)为一特定函数，《
7、「=尺令1/=“一叫，则得到(2.1),(2.2)的等价问题:-V(/:Vv)+ovj=F-/+—(/：-on{)*dydyvr=0构造v的二次泛函J=W^W^VVJAj=—JJ(-▽(AVv)v+ov2、dxdy⑹外=-JJF
8、vdxdyGJ=~JJv)v+m’2-2Fv)dxdy2G=—(-▽(^Vv)+av,v)-(F,v).在c2屮,(F,v)=JJFvdxdyJ=-v)+m,，v)-(F,v)2去JJ一▽(/:▽v)vdxdy+去JJv~dxdy-JJFvdxdyJJ-V(々Vv)vdr办vdxclyG=-nG=-ndkdv7d2vdkdvyd2vdkdvdkdvvdvdxdxdydydxdy+dxdydykv)dxdy运用格林第一公式dkdvdkdvvHvdxdxdydydxdy+dvdkvdv3kvdxdxdydy}dxdy-kvds杳)2+(昝)2oxdydxdy.dudvd
9、udv令“(w，v)=37+17+H01油dy.卿=w）—（F，V）.T面冋到原问题J=r(v,v)-(F,v)k(duduQdxdxdxdy+丄JJ(y{u-u())2dxdy22rz/d,,du0、+丁(众)—仰0dydydu(u-w0)dxdydudur,dudufn々（尝）2+々G21场昔令+吾$）帥+1^2帥dxdxdydydxdy.-JJoiiuQdxdy-JJfudxdy-JJ依据极小位能原理：v*=i4（x）是下列变分问题的解，7（K）=min7（v）.变分M题表述为：求使•/（v*）=min/（v）.ve/4（//I是所有满足非齐次边值（2.2）的
10、函数类构成///）的子空间）2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的有fz（w,v）-（/，v）=O.证明：以v乘（2.1）的两端并在G上积分，得JJ[-V（々Vv）v+ov-Fv]clxdyvdxcly-JJFvdxcly=-n3女3vdkdvvHvdxdxdydydxdy+v,d2v,、jj-kv^7kv)dxdydxdy^-JJFvdxdydxdxdydydxdy+JJ(yuvdxdy-^Fvdxdy=6f（w,v）-（/,v）.原问题的变分问题变为:求W,UEC2AH'满足变分方程6Z（W，V）—（F，v）二0,对任意的ve//'3椭圆型方程的第二
