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《点和直线的齐次坐标,齐次方程,非齐次坐标,非齐次方程及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、摘要木论文主要讨论点和肓线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程及其应用.关键词：点和直线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程，无穷远点，无穷远直线.引言我们知道，在平面内点是几何的基木元素，对于点引入坐标•曲线是点的轨迹（在这种情况下，曲线称为点曲线），它有方程，这是点几何的观点•在点几何里，直线是曲线的特例.对偶地，直线也可作为几何的基本元素，采用直线作为基本元素，可以建立线几何学.在线几何里，对于直线引入坐标，曲线是一族直线包络成的图形（在这种情况下，曲线称为线曲线）.1•齐次点坐标当欧氏直线规定了方向，原点与单位线段以后，即
2、建立了笛氏坐标系.它使有穷远点与实数之间建立了一一对应，从而确立了欧氏直线上点的坐标的概念.当引入无穷远点后，无穷远点没有坐标•为了刻画无穷远点，我们引入齐次点坐标.1・1一维齐次点坐标定义1:设欧氏直线上有穷远点〃的笛氏坐标为■则满足玉二兀的二数兀2兀1，兀2（兀2工0）叫做点0的齐次（笛氏）坐标，记作P（X],X2）,兀称点“的非齐次坐标.而当兀2=0时，即（西,0）（召工0）或（1,0）规定为这育•线上无穷远点的一维齐次点坐标.如：若（2,1）是齐次点坐标，则它的非齐次坐标（2）；反之成立.由定义1可见：（1）不同吋等于零的任何两个数兀1，
3、兀2在轴上确定唯点P（召，七）；（0,0）不能决定一个点；（2）如果PH0,则（网,卩兀2）与（兀1，兀2）决定同一点；（31、如：点（3,1）,（6,2）,（-3,-1）,-都表示同一点的齐次坐标.,22丿（3）如果兀2工0,则〃（西,兀2）为轴上一个有穷远点，它的非齐次坐标为X=^-；如：点（3,-7）的非齐次坐标为.(4)如果兀iHO,兀2=0,则p(x1?0)或“(1,0)为轴上的无穷远点；(1A如：任取一点p(x),它的齐次坐标为/?(x,l)或p1,—•Ix丿当x吋，pIPg,此时1,——>(1,0).<兀丿因此，轴上的无穷远点为点(
4、可,0)或(1,0).要特别注意，对于轴上的任何(有穷或无穷远)点，它的齐次坐标无穷多组.又如果〃(西宀)(吃北0)，贝U=i叫做点p的非齐次坐标，无穷远点没有非齐兀2次坐标.如果点的非齐次坐标存在，则它就是唯一的.1•2二维齐次点坐标在欧氏平面内建立二维笛氏(直交或斜交)坐标，则可使平面内的有穷远点与有序实数Z间建立一一对应，从而确立了平面内点的坐标的概念•为了刻画无穷远点，我们引入二维齐次点坐标.注意：平面上有无穷多个无穷远点•即每个方向有唯一的一个无穷远点.定义2：设欧氏平面内点。的笛氏坐标为(3),则满足玉二兀，理〜的三数兀］，兀2,%其
5、中(兀3工°)叫做点P的齐次(笛氏)坐标，记作P(xpx2,x3);(x,y)叫做点P的非齐次坐标.如：点(2,4,-1)的非齐次坐标为(-2,-4).反Z也成立.点(1,0)的齐次坐标为(1,0,1),(-1,0,-1)反之也成立.点(3,-2)的齐次坐标为(3,-2,1),(6,-4,2)反之也成立.由定义2可见，平而内一点的齐次坐标有无穷多组；以｛pxvpx2,px^(其中/9H0)和(兀］,兀2,兀3)为同一的齐次坐标.如：点(-3,4,1),(-6,&2)都表示同点的齐次坐标.现在说明，(心花，0)可以作为无穷远点的坐标.(1)设直线当
6、二坐标轴直角时，A=VdnO即为直线的斜率（其中&为斜角）.（如图1）当二坐标轴斜角时，2=、sin（Q-&）（其中&为斜角，⑵为坐标轴的交角）.（如图2）如果在（1）里b变动，而2不变也就是&不变，则（1）表示一组平行直线.现在取（1）里一定直线/,即入b均为定值，Z上一点〃的非齐次坐标为.（A1A（兀,久兀+/?）・其齐次坐标为（匕加+伉1）或1,2+-,—•当〃从/上的两个方向趋于Ixx）无穷远时，即当XT+oo或XT-co时得点p的齐次坐标的极限为（1,2,0）即（h1A1,2+仝,丄T（l,入0）・这是与b无关的一组数•因此，可以规定以
7、2为决定的方IXX）向的无穷远点的无数组齐次坐标为（0",0）（其中QH0）.如：直线2x-y-=0的无穷远点的坐标为（1,2,0）.（•.•2x-y—1=0=>y=2兀一1pw（1,2,0））；定义3：任何三个有序实数（心兀2,0）（其中x严0）,空=2规定为2（当二坐x标轴直角时为斜角）决定的方向的无穷远点的齐次坐标.如：点（3,-4,0）是以2=-扌为方向上的无穷远点的齐次坐标.注意:对于齐次坐标（西宀，呂）：（1）没有以（0,0,0）为齐次坐标的点；(2)当兀3工0吋，它的非齐次坐标为玉，玉表示有穷远点；I®兀3丿(3)当花=0时，(
8、xpx2,0)表示无穷远点，而(兀］，兀2,0)(其中西工0)以2=乞兀］为方向的无穷远点；(4)x轴上的无穷远点(1,0,0)；(•・
