非齐次微分方程特解

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1、.二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论幸　克　坚　　　　　　（遵义师范学院　贵州　遵义　５６３００２）摘　要：非数学专业《常微分方程》中，“二阶常系数线性微分方程”一般是作为一个单独的模块来讲授。但在一般非数学专业使用的《高等数学》教材中，特解的介绍常常比较突然和不够完整，引入不大自然也不易于理解和接受。本文结合非数学专业学生的特点就特解的求法进行了分析和讨论。关键词：常系数线性微分方程特解讨论中图分类号：O171文献标识码：E文章编号：1009-3583（2004）03-00　　　　　　　　　　

2、　XINGKe-jian(DepartentofMathematics,ZunyiNormaiCollege,Zunyi563002,China)Abstract:Keywords:一、问题的提出“微分方程”中的“常系数线性微分方程”的求解理论，在数学专业的《常微分方程》教材中已得到完美的解决，但由于专业所限，非数学专业《高等数学》内容中《常微分方程》不可能系统介绍，往往只是将“-..二阶常系数线性微分方程”作为一个单独的模块来讲授。一般是先求出二阶常系数线性齐次微分方程的通解，然后，找出非齐次方程：y

3、״+py׳+qy=f(x)（1）的一个特解，最后按照“叠加原理”将这个特解与相应的齐次方程的通解相加，就得到非齐次方程的通解。这两个环节比较而言，难点在第二步——求特解。虽然非数学专业的《高等数学》侧重于应用而不在于推导，但知识点的介绍和引入也应该遵循引入自然和易于理解接受的原则。而非数学专业使用的不少《高等数学》教材中，特解的引入常常比较突然并且不够完整，让学生无法理解和接受，也形不成清晰完整的印象。如笔者使用的这本教材①中就仅从一个十分具体的例子：例1、求方程y״+y׳+y=x+2(2)y״+y׳=

4、x+2(3)y״=x+2(4)--------------------------收稿日期：2004-03-作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学教育和数学史研究的特解来引出。很突然地用：“我们设想方程（2）具有一次式形式的特解：y*=α+βx……；显然，一次式y*=α+βx不是方程（3）的解，设想它的特解为：y*=（α+βx）x……；显然，（α+βx）x不是方程（4）的解，设想它的特解为：y*=（α+βx）x2”，最后又说：“情况是这样的：方程（2）对应的特征

5、方程无零根；方程（3）对应的特征方程以零为单根；方程（4）对应的特征方程以零为重根”。之后就依据这一具体例子，给“二阶常系数线性微分方程”的整个求解问题作了结论，显得比较玄乎和片面。这样取材和讲解，很容易产生疑问：①-..用一个系数这么简单的具体例子能得出可靠的普遍结论吗？②方程的解的这三种形式是怎么得来的？③除了这三种形式之外是否应该还有更多的其它形式？④这三种形式与特征方程有无零根有何必然联系？产生疑问的结果，就是学生不能真正理解和熟练掌握，也无法形成清晰完整的印象。为了避免这种不良后果，笔者在教学

6、中针对非数学专业学生的数学基础，就特解的求法问题进行了如下的分析和讨论，就较为顺畅和易于理解：二、特解的求法分析讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：y״+py׳+qy=f(x)(1)其中y״项的系数为1，p、q为常数，f(x)为初等函数。因此，y、y׳、y״也只能是初等函数。而且能作为初等函数的微商或导函数出现的最常见的是多项式函数、三角函数和指数函数。所以，f(x)=ax+b、f(x)=asinωx(或f(x)=acosωx)、f(x)=aebx是最简单而常见的情况，我们就着重讨论f(x)的

7、这三种形式。（一）首先考虑：y״+py׳+qy=f(x)中f(x)为一般的非零多项式的情形：设非零多项式f(x)的次数为n，并设y*为（1）的解。因为（1）式右边为非零多项式，所以左边也必为非零多项式，而初等函数中有且仅有多项式函数的微商才为多项式，所以y*也必为非零多项式：不失一般，设y*=g(x)，并设g(x)的次数为m。下面分别根据（1）中系数情况来讨论m与n之间的关系：根据y״+py׳+qy=f(x)中系数有下列三种不同情况：1）当q≠0时(1)为：y״+py׳+qy=f(x)。此时，方程右边f

8、(x)的次数为n，将y*=g(x)代入左边，由于y*的次数为m，y*′的次数为m－1，y*″-..的次数为m－2，所以，方程左边的次数为max｛m，m－1，m－2｝=m，应与方程右边f(x)的次数n相等。即：m=n；2）当q=0而p≠0时(1)为：y״+py׳=f(x)。此时，方程右边f(x)的次数也为n，将y*=g(x)代入左边后方程左边的次数为max｛m－1，m－2｝=m－1，所以有：m－1=n，即m=n+1；3）当p=q=0时(1)为