一类超线性退缩椭圆型方程的无穷多正解.pdf

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1、第20卷第8期重庆工学院学报2006年8月VoI.20No.8JournaIofChonggingInstituteofTechnoIogyAug.2006【本刊专稿】一类超线性退缩椭圆型方程的无穷多正解郭信康,吴姗,谢军(广西大学数学与信息科学学院,南宁530004)ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ摘要:研究了一类超线性退缩椭圆型方程超临界增长边界条件的Neumann问题,主要利用了“偶ZZZ泛函临界点定理”和著名的“EkeIand变分原理”等证明该问题存在无穷多正解。ZZ关键词:超线性;超临界增长;退缩椭圆型方程;正解ZZ中

2、图分类号:0175.25文献标识码:A文章编号:1671-0924(2006)08-0001-06ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZInfinitePositiveSolutionstoAClassofUltralinearDegenerateEllipticalEguationsGU0Xin-kang,WUShan,XIEJun(SchooIofMathematicsandInformationSciences,GuangxiUniversity,Nanning530004,China)Abstract:Thispaperstud

3、iestheNeumannprobIemofthesupercriticaIincreasedboundaryconditionsforacIassofuItraIineardegenerateeIIipticaIeguations,where“criticaIpointtheoremofevenfunctions”,and“fa-mousEkeIandvariationaIprincipIe”areusedtodemonstratethatthereareinfinitepositivesoIutionstotheprobIem.Keywords:uItraIinear;supe

4、rcriticaIincrease;degenerateEIIipticaIeguation;positivesoIution讨论如下超线性退缩椭圆型方程超临界增长边界条件的Neumann问题:-V(8(VUa)VUa-22T+1+U2G+1VU)=x(X)UXn(p){8(VUa)VUa-2eU+w(X)US-1U=0XeneI2aN2a(N-1)其中3S2a

5、)2a+((X)US+1)S+1E=(wnen在此分别把·dX,·dS简单记为·和·.因此问题(p)对应的能量泛函为:nennen2(G+1)1a)-x(X)2(T+1)U+1(X)US+1(IU)=(VUU+-+ann2(T+1)n2(G+1)enS+1w收稿日期:2006-03-27作者简介:郭信康(1938-),男,教授,主要从事数理边值问题研究.2重庆工学院学报t其中G=0g()c,U+=ma(x0,U),U-=min(0,U).对任意E,(IU)的Frechet导数是:=g(IUI)IUI-22m+1-U2g+1+(x)IUIS+1UU-(x)

6、U++在E中讨论问题(p)弱的正解,即对任意的UE,U0,并且U不恒为0,且对任意E下面的恒等式成立:g(IUI)IUI-22m+1-U2g+1+(x)IUIS+1U=0U-(x)U++引理1(偶泛函临界点定理)E是无穷维Banach空间,IC(1E,R1),假如(IU)满足(pS)条件,及(IU)满足以下条件:(I1):(IU)是偶泛函,且(I0)=0.(I2):存在常数,A>0,I{N},使(IU)/BEIA>0,其中B是在空间E中,以原点为球心,半径为的球.(I3):对所有有限维子空间E,存在R=R(E)>0,使(IU)0,UEB(R0),则(IU)具有无穷多临界点UmE,

7、I(IUm)I,(m).证明:详见参考文献[1],其中代数拓扑补子空间EI的具体意义可见参考文献[2].注:以下为了简便,将Lp空间的范数记为·p.假设条件:假设(x),(x),g(t)是分别满足下面条件的函数.)Ig(t)c1,g(0)=0,6>a>0,使atg(t)6t,g('t)>0,(2g+2)a>26,以及G(U)=H(g1Ug(t)ct.02G(t)2-22H(g2)IG满足椭圆性条件,即令Gij=,t=(t1,⋯,tN),0,1>0.使0ItIIItit

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