一类非线性薛定谔方程组无穷多解的存在性-论文.pdf

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1、2014年6月纯粹数学与应用数学Jun．2014第30卷第3期PureandAppliedMathematicsVo1．30No．3一类非线性薛定谔方程组无穷多解的存在性董静，魏公明(上海理工大学理学院，上海200093)摘要：讨论了一类非线性薛定谔方程组无穷多解的存在性．在假设的V()，b()，f(X)条件下，通过减弱喷泉定理的条件，运用变形的喷泉定理，证明了相关方程组的无穷多解的存在性．较扰动方法更加简捷．关键词：薛定谔方程组：无穷多解：变形的喷泉定理中图分类号：O178文献标识码：A文章编号：1008—5513(2014)03—0299—08D

2、oI：10．3969／j．issn．1008—5513．2014．03．0121引言主要考虑如下薛定谔方程组：-Au+V“=，(，)，∈R。'(1)一△：6无穷多解的存在性．对于此类具有物理背景的方程组，受到了许多国内外学者的关注和研究，其中不乏许多已经得到的新的结果．当b(X)=1时，在文献[1]中作者证明了无穷多解的存在性：当V三1，fx，u)=p-1u，1詈。

3、的薛定谔方程组无穷多解的存在性．当V(X)不是一个确定的常数时，(，)=lIp_。u，3

4、，inf~R3V()al>0(al是正常数)，对任意的M>0，有{∈R3IV()^]．0即b(X)是大于0的有界函数；(f2)f∈(R。×R)，存在02>0，P∈(2，2)，『f(X，)Ia2(1+lulP-1)，X∈R。，∈R，其中2是在维数为3的sobolev空间的一个临界指数，且‘厂(X，u)u0，u0；(f3)1lI_+0=0对几乎处处∈R。一致成立；(f4)liraII_÷0=+。o对几乎处处z∈R。一致成立；(f5)对任意∈R3，G(X，8)G(X，t)，V(8，t)∈R+×R+，st

5、，定义G(，s)=／．厂(，s)s—F(，s)，其中F(，s)=d／0f(．z，)(G：R。×R+_÷R)；(f6)，(，-U)=一f(X，)，∈R。，钆∈R．定理1．1若(V1)成立，且，满足(f1)一(f6)，则(1)式有无穷多个解{(札，))，使得(札忌)。o，即。(112+v()；)d一1。I12dx+1。6()Ck2d一。F(，)d+。。．2夭疋埋与引埋2．1一些符号说明R3)Lebesgue蛳I1~11(fR3Id)i；Sobolev蛳Ilull(ul2+u2)d)；。1，(R3)={uEL6(R。)IVuEL2(R。))，其范数为Ilu

6、ll。，。=(fR3Iufd)E：Hibert空间，：u∈日(R。)；。(1钆12+Vu2)0)(见文献[1，8]的引理2．1)．

7、由此，可定义：E_÷R)==：互1／R。(ft2+v(咖)d蚪。)uu2dx-R3F()(()，)=／(VuVv+V()扎+6()一，(，r“)v)dx，∈E．R32．2弯形的暗囊索理E是范数为ff-『I的Banach空间，E=—@jeN—Xj，其中dimXj<。。，对任意的J∈N均成立．集合=00，Zk=X，Bk={u∈lIluIlpk}，肌={∈Zk川ullrk)，其中Pk>rk>0．考虑C函数：E_÷R，定义：(札)：A()一JE}()，∈【1，21．假设如下：(F1)∈[1，2]时，映射是有界集映射到一致有界集，(一)=(u)，对所有的(A，

8、)∈[1，2】×E均成立，(F2)对所有的∈E，都有B(u)0，当IJIl。。时，A()_÷。。或JE}()