一类奇异Lienard系统的鸭环的存在唯一性-论文.pdf

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1、第28卷第4期山东理工大学学报(自然科学版)VoI．28NO．42014年5月JournalofShafidongUniversityofTechnology(Natura1ScienceEdition)Ju1．2O14文章编号：1672—6197(2014)04—0034—02一类奇异Lifnard系统的鸭环的存在唯一性尚德生(山东理工大学理学院，山东淄博255091)摘要：通过对一类奇异摄动系统的慢散度积分零点的存在唯一性讨论，得到所讨论的系统(L)一定有且只有唯一一个周期解存在，且这个周期解是

2、由快轨道和慢轨道共同构成的鸭环，同时这个周期解是不稳定的．关键词：奇异摄动Li6nard系统；慢散度积分；鸭环；不稳定中图分类号：O175．12文献标志码：ATheexistenceanduniquenessofcanardcyclesofakindofLi6nardsystemSHANGDe—sheng(SchoolofScience，ShandongUniversityofTechnology，Zibo255091，China)Abstract：Byinvestigatingthezerosof

3、theslowdivergenceintegraltosingularperturbedLi6nardsystem(L)，weobtainthatthiskindofsystemcanhaveonlyoneperiodicsolution．ThisperiodicsolutionistheSO—calledcanardcycle，whichismadeupofafasttrajectoryandaslowtrajectory，andthecanardcycleisunstable．Keywords：

4、singularperturbedLi6nardsystem；slowdivergenceintegral；canardcycle；unstable在文献[1—2]中，作者利用Blow～up等技巧讨论度积分(1)的零点的个数来确定，且其鸭环的稳定性了在函数F()满足什么条件，下面的奇异摄动可以由(y，)关于y的导数的符号来确定．Li6nard系统rdx，、{I=y-(州『d一一，-a)⋯：会有鸭环存在，其中F(z)是光滑函数，e>O是个小≠参数，2>0而且系统(L)的鸭环的个数可以由系统(0，0)_

5、●的慢散度积分j(y)一fdz(1)圈l糸统ILJ仕￡”町嗣现不恧田Jn—A说明：(1)这里在系统(L)中，z称为快变量，而的零点来衡量，其中是经过(0，y)的快轨道的两个端点((y)，y)，(z(y)，y)之间的部分慢轨道，称为慢变量，在￡---~0(￡≠o)时的极限系统警一如图1所示．F()，dy具体结论是——O以曲线一F()上的所有点为奇引理1如果F()是一个Morse函数，而系统点；通过时间尺度变换￡一，则系统(L)化为edx(L)以原点(0，0)为转点，且满足F(0)一0，F(O)一0，(

6、O)≠0，则系统(L)的环性可以由前面的慢散F(z)，dy一一一一(z—)，在e一0(￡≠O)时的极限收稿日期：2014—02—12作者简介：尚德生。男，shangdesheng@sdut．edu．ci1第4期尚德生：一类奇异Li6nard系统的鸭环的存在唯一性35系统。一Y—F(z)，dy一一(—)是一个限制在曲在区间(0，)U(，+oo)上的零点即可．注意到G(O)一0；当—时，G()一一oo；且线Y—F()上的一个微分代数系统，其中时间t称一+∞时，G(z)一+∞．为慢时间尺度，而时间r称为快

7、时间尺度．又因为(2)由含有快轨道和慢轨道一起构成的闭曲线G()一z一+。z。+⋯+环称为系统(I)的一个快慢环(Slow—FastCycle)，+，也称为鸭环(CanardCycle)．(3)系统(L)的一个鸭环与前面的慢散度积分的显然，当2∈(，+。。)时，有G(z)>0，即G()在一个零点相对应，且其稳定性与I(Y)的导数的相应，区间(，+oo)单调递增．但是当2∈(0，)时，容易即当I(y)一0，(y)0时

8、，对应G，一+一于系统(L)的一个过(O，y)的不稳定的鸭环．下面对一种特殊的Morse函数F(z)，来讨论<。系统(L)的环性，这里取从而G(z)单调递减，亦即有G(z)0，如图2整数．这时的—F(z)只有唯一的光滑奇点，即原点所示．(0，0)，且图形关于y轴对称，对任意的Y∈(0，+。。)，有z()一一，z()一与之对应．这时根据