球形区域内非线性椭圆型方程正解存在性

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1、ＡＴｈｅｓｉｓｉｎＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＥｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｌｌ‘‘－‘‘ｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ●ｉｎ‘一一ｓｐｈｅｒｉｃａｌ一ＢｙＤｕＱｉａｎｑｉａｎＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＳｏｎｇｓｈｕｎｉＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＪｕｎｅ２０１０一ｄｏｍａｉｎｓ独创性声明本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的，论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表

2、或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意．学位论文作者签名：础瞒１筠日期：西抄．７２学位论文版权使用授权书本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅．本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流．作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后：半年口一年口一年半口两年町／

3、学位论文作者签名：抛锅碡导师签名：签字日期：邓年７Ｊｊ２Ｊｊ．签字日期：、挥沙呆∥芝帜旷忍肥７办ｒ东北大学硕士学位论文球形区域内非线性椭圆型方程正解的存在性摘要摘要椭圆型偏微分方程是数学科学的分支之一，它厂泛应用于物理学、Ｔ程掌以及自然科学中．随着理论的发展与科学技术的进步，椭圆型偏微分方程受ＮＴ更加广泛的关注，而且二阶椭圆型偏微分方程正解的存在性问题也得到了深入的研究．本文的主要内容有以下两个部分：１．讨论了非线性椭圆型方程卜斧∥乳－ｃ（Ｈ）ｇ（“艇Ｑｘ∈硷．（２．。）边值问题正解的存在性．其中

4、，ｋ＞ｎ，Ｑ是以０为球心，Ｐ为半径的球召（Ｄ，Ｐ），Ｐ是有限实数．首先，通过做变量代换ｙ（，．）＝ｙ（Ｈ）＝“（ｚ），将椭圆型方程（２．１）转化成为非线性二阶常微分方程“一（ｆ）＋尼堡掣：ｃ（ｆ）ｇ（“（ｆ））．其次，定义一个泛函，，这里泛函，的临界点与该常微分方程的解是等价的．通过讨论泛函，的临界点并结合山路引理来得到常微分方程的正解的存在性，进而得出椭圆型方程（２．１）正解的情况．２．讨论了拟线性椭圆型方程』△ｕｎ酽－１・乳＋ｇ∽俐一ｏ≯∈％（３．。）Ｉ“（工）＝０，工∈ＯＧ爿．在球形区域内部正解的存

5、在性．其中ｑ＝｛工卜∈Ｒ“，旧≤１｝，，ｚ≥３．首先，对该方程做如上的变量代换，将其转化为二阶常微分方程Ｊ，”＋ｇ（ｆ，“（ｆ））＝０，然后结合方程（３．１）满足的条件可以得到以下两个不等式：护静押¨和（石））鲰【“（ｘ）＝０，摘要东北大学硕士学位论文址丌ｎ－１棚毗（刑（ｘ））＞０．其次，由上、下解的定义可知，椭圆型方程（３．１）利Ｅ－－个正的上解与一个正的下解，再根据上、下解定理推出方程（３．１）至少存在一个正解．关键词：椭圆型偏微分方程；正解；变分方法；上、下解方法．．ＩＩＩ．．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｏ

6、ｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｓｐｈｅｒｉｃａｌｄｏｍａｉｎｓＡｂｓｔｒａｃｔＥｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｉｓａｂｒａｎｃｈｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｉｔｉｓｗｉｄｅｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｎｐｈｙｓｉｃｓ，ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄｎａｔｕｒａｌｓｃｉｅｎｃｅ．Ａｌｏｎｇｗｉｔｈｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｐｒｏｇｒｅｓｓｏｆｓｃｉｅｎｃｅａｎｄｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｅｌ

7、ｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｍｏｒｅｅｘｔｅｎｓｉｖｅｃｏｎｃｅｒｎｅｄ．Ａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｈａｓａｌｓｏｇｏｔｆｕｒｔｈｅｒｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｒｅａｒｅｔｗｏｐａｒｔｓａｂｏｕｔｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｅｎｔｓ．１．Ｔｈｅｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｄｉｓｃ

8、ｕｓｓｅｄ：ｐａｒｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ-48ａｒｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｆｏｒｅｌｌｉｐｔｉｃ△”生阡地＋一ｘ・Ｖｕ＝ｃ（…ｇ（“），ｘ∈Ｑ，ｘ∈讹．（２．１）ｗｈｅｒｅｋ＞咒，Ｑｉｓａｂａｌｌｎｏｔｅｄａｓ曰（Ｄ，ｐ）ｗｉｔｈ０ａｓｉｔｓｃｅｎｔｅｒａｎｄＰｒａｄｉｕｓ，ａｎｄｐｉｓａｌｉｍｉｔｅｄｒｅａ