有关非线性分数微分方程正解存在唯一性分析与探讨

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1、有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性分析与探讨姚斐安徽合肥学院摘要：非线性分数微分方程作为高等数学教学的重要内容，其正解的存在唯一性一直以来既是学术探讨的热点，也是大学生必须掌握的重点。本文以非线性分数微分方程为例，分析非线性分数正解的存在唯一性，并通过数学定理加以证明。最后结合实例，讨论了非线性分数微分方程正解的存在唯一性的实践运用，对当前大学高等数学教学意义重大。关键词：高等数学，非线性分数微分方程，正解，存在唯一性引言非线性分数微分方程正解存在唯一性是现代工程领域的学术研究问题，也是学术家们用其解决很多实践依据。如何让学生触类旁通地掌

2、握教学过程中非线性分数微分方程正解存在唯一性，既是一个教学难点，又是一个能力重点。1、有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性描述：微分方程(1)其中为耗散项。当，>0为常数时，得到非线性分数微分方程正解存在唯一性的结果。有学者研究了为非线性函数，但考虑的情形。因此一旦为，它相应于0<<1的情形来讲，只是初值的小性假设，有学者给了初值的一模适当小的限制，也有学者将它减弱到初值的一模的小性限制。这些假设需其一阶导数适当小，就能证明了正解唯一性的存在。表述如下：假设非线性分数微分方程满足；，；，，，>0为常数。那么微分方程(1)的特征值：，。(2)

3、相应的Riemann不变量是：，其中(3)在正解的意义下，存在唯一性可化为如下等价的存在唯一性(4)其中，，，。进一步假设初值满足如下条件：，，且，其中表示中的有界集。并且。5)在上述的假设下，我们的主要结果是：定理2.1假设，和成立。如果足够小，则存在唯一性(1.1)、(1.2)（等价于(2.4)、(2.5)）在上半平面存在唯一的整体光滑解。2．正解唯一性的定理证明特征线法引理假设，和下，存在唯一性在非线性分数解存在区域内成立，.(6)其中证明设的方程为(7)其中，，，.令，.于是由(7)式，得到(8)又令如果为正解存在区域内的任意一点，并

4、过点作一特征线和一特征线，分别交于轴的点和沿特征线从0到分别积分，那么得到：(9)当时，正解得到，(10)再由式(8)、(9和(10)的逆比和求解，得到，。可见，非线性分数解存在区域内正解存在唯一性。推论在引理的假设之下，存在唯一性在光滑正解存在区域内成立，那么，.(11)其中，，分别由下式所定义：，(12)很显然有：(13)又由的演算得到(14)只有当时，为非线性分数解存在区域内函数，所以得到非线性分数解存在区域内唯一性表示为：(15)推论结束。3.非线性分数微分方程实践应用探讨当求一阶满足初始条件的正解，其中函数f(x,y)是、的多项式：

5、那么就可以得到的正解（27）其中是待定的系数，把（21）代入（20）中，以这些常数为系非线性分数微分方程数的级数在其收敛区间内方程是。满足初始条件的正解。总之,非线性分数微分方程正解存在唯一性从命题到证明过程数学验证过程。其实，作为在是现代工程领域，已经作为定理来使用。大学们只要了解非线性分数微分方程正解存在唯一性验证，就一定会掌握好的。参考文献：1、林晓宁,非线性奇异微分方程解的存在唯一性2、孙伟志,《华侨大学学报(自然科学版)》2010年01期