一类非线性边界值问题正解的存在性.pdf

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1、第25卷第1期河北大学学报（自然科学版）Vol.25No.12005年1月JoUrnalof~ebeiuniverSity（NatUralscienceedition）Jan.2005一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一类非线性边界值问题正解的存在性苏晓红，郑连存（北京科技大学应用科学学院，北京100083）摘要：对一类非线性边界值问题（y+h（I））+（I）f（I，y）=0，0＜I＜1，｛!Iy（0）=aj0，y（1）=bj0.进行了研究，利用非线性二择一不动点定理建立了

2、问题正解的一个存在性原则.关键词：边值问题；正解；存在性原则；非线性中图分类号：0175.14文献标识码：A文章编号：1000-1565（2005）01-0005-04非线性边值问题在流动、传热和扩散领域有着广泛的应用，上述领域的很多数学模型都可通过相似变换和变量变换技巧转化为对非线性边值问题正解或非负解的存在性、唯一性、解析性的研究［1］.本文研究非线性边界值问题（y+h（I））+（I）f（I，y）=0，0＜I＜1，!I｛（1）y（0）=aj0，y（1）=bj0.其中是一个常数，为研究的方便，以下均假设bja（对于b＜a的情况均类似）.!j0问题（1）的一些特殊

3、情况，很多人做过研究［2-4］.1主要结果定理1假设以下条件满足：i）I（I）6C（0，1），当I6（0，1）时I（I）＞0且I（I）在［0，1］有界；）f：［0，1］>［a，+］一［0，+），是连续的；）I6（0，1）时h（I）＞0，当I6（0，1）时h（I）＜I（I）f（I，y），并且SUpa+（b-a+I6［0，1］I~（1）I-~（I）＜b，其中~（I）=Jh（S）dS；0v）存在连续非减函数g：［a，）一［0，），使得当＞a时g（）＞0，在（0，1）>［a，）上满足f（I，）＜g（）；如果i）~v）满足，那么有下面关于（1）的正确存在性原则ccdd令

4、L=SUp+，（2）c6（b，）J｛［G（c）-G（）］1／2J［G（c）-G（）］1／2｝ab收稿日期：2004-02-23基金项目：国家自然科学基金资助项目（50476083）作者简介：苏晓红（1976-），男，湖北石首人，北京科技大学在读硕士研究生.·6·河北大学学报（自然科学版）2005年一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一这里G（）=｝g（S）dS.（3）02记L!0=-1.2［supI（t）］tG［0，1］当L＞。2［supI（t）］时，如果!满足0＜!＜!0，那

5、么（1）有一个非负解.tG［0，1］注其中（2）式中的上确界可以为.2证明预备定理（非线性二择一不动点定理）假设K是一个赋范线性空间E中的凸集，U是K的相对开子集，若映射N：U一K是一个关于U中元素P的紧映射，那么只可能存在如下2种情况之一.a）N在U中有一个不动点；b）存在G"U和#G（0，1）使得=#N+（1-#）P.预备定理的证明见文献［5-6］，下面用预备定理证明定理1.首先考虑下面关于#（0＜#＜1）的一族问题（y+h（t））+#（t）f。（t，y）=0，0＜t＜1!I｛（4）y（0）=a）0，y（1）=b）a这里f。：［0，1］>一［0，）定义为。f（

6、t，a）+a-y，y＜af（t，y）=｛f（t，y），y）a1）首先可证（4）的任何解y（t）满足y（t））a，tG［0，1］.（5）若不然，假设y（t）-a，在t（0，1）有1个负的最小值，那么y（t）=0且y（t）＞0，然而0G00y（t0）=-#!I（t0）f。（t，y（t））-h（t）=-#（t）［f（t，a）+a-y（t）］-h（t）＜0.000!I0000这与y（t）＞0矛盾，所以式（5）成立.02）记y0=supy（t），对固定的!＜!0，存在M0＞b满足tG［0，1］MM002dd（｝［G（M）-G（）］1／2+｝［G（M）-G（）］1／2）a0b

7、0!＜-1—$0＜!0.（6）2［supI（t）］tG［0，1］设y（t）在t［0，1］上有最大值，当t或1时可得y下面考虑当t（0，1）且y的0G0=00＜b.0G0＞b情况.在这种情况下y（t）=0；当tG（0，t）时y（t））0；当tG（t，1）时y（t）＜0.000!）当tG（0，t0）时-yy=［#!I（t0）f（t，y）+h（t）］y，先从t（t＜t）到t积分00tt00｝-y（S）y（S）dS=｝［#!I（S）f（S，y）+h（S）］y（S）dS，tttt001［y（t）］2=｝#!I（S）f（S，y）y（S）dS+｝h（S）y（S）dS＜2tttt

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