带有一般线性耗散项的p-方程组解的衰减估计-论文.pdf

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1、瑷数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn带有一般线性耗散项的P一方程组解的衰减估计蒋盼盼王泽军(南京航空航天大学数学系南京211106)摘要：该文主要研究带有一般的线性耗散项的P一方程组Cauchy问题解的衰减性．该文采用Fourier变换的方法，利用基本解方法构造Cauchy问题的解，证明了当初始值有紧支集、耗散项系数满足一定条件时P一方程组Cauchy问题的解任意阶导数具有衰减性．该文的讨论可以推广到更加一般的2×2带耗散项的双曲型方程组的情形．关键词：一般线性耗散项；P一方程组；解的衰减性；Fourier变换；Green函数．MR

2、(2000)主题分类：35L60；35L65；35L80中图分类号：O175．27文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—802—141引言及主要定理本文研究下面带有一般线性耗散项的P一方程组vt-Ux=al的Cauchy问题解的衰减性质．其中Cauchy初值为(V，It)l扛0=(vo(x)，f“0())(1．2)这里，，P分别表示气体的比容(=1，P为气体密度)、速度和气体内部压强．P=p(”)是给定的状态方程，满足p(v)∈(0，。。)，p／v)<0，p(u)>0．由于p(u)<0，所以方程组严格双曲，由Pv)>0知方程组的两个特征

3、都是真正非线性的．a(i，J=1，2)是给定的常数．若a一0一i一1，2，方程组(1．1)就是我们熟知的Lagrange坐标下的一维等熵理想流体力学方程组，即P一方程组．由于自然界中许多事物的运动规律很多以一阶拟线性双曲型方程组的形式表现出来，如：聚变过程中的等离子体运动，明渠不稳定流及非线性弹性力学、空气动力学和爆炸力学中事物的运动规律等问题[1-3]，P一方程组作为很重要很基础的一阶拟线性双曲型方程组，近年来，成为研究的热门问题之一．许多作者对这个问题开展了研究．1968年Nishida[J证明了方程组(1．1)在p()=譬时的一般始值问题在BV空间中解

4、的存在性．刘法贵L5_用一致先验性估计证明了方程组(1．1)的Cauchy问题整体经典解的收稿日期：2012．10—12；修订日期：2013—12—20E—mail：jppcute@163．corn；wangzejun@gmail．com基金项目：国家自然科学基金青年基金(10901082)和中国博士后基金(20090450149)资助No．4蒋盼盼等：带有一般线性耗散项的P一方程组解的衰减估计803存在性．Smoller[。】利用Glimm差分格式说明了双曲守恒律方程组在BV空间整体解的存在性．1972年，丁夏畦、肖玲等[]研究了方程组(1．1)在一种特殊

5、的大初值条件下解的整体存在性．另外，丁夏畦等[8-10]解决了方程组(1．1)的一般大初值问题在空间中解的整体存在性．若a22<0，a1l=a12=a21=0，即传统的带耗散项的模型，其Cauchy问题经典解整体存在和解的破裂现象的研究结果比较丰富，也比较成熟．王靖华和李才中[11]考虑了P=p(v)=kv一(1<7<3，>0)得到了此种情形方程组(1．1)的Cauchy问题经典解的整体存在性．Lin和Zheng[]改进了他们的结果，将经典解的存在性结果推广至0<<1的情形，而且在=1的情形下，Zheng[】得到了Cauchy问题存在整体经典解的一个充分必要

6、条件．若耗散项系数a，az，az，azz对应的矩阵具有严格对角占优性质，即强耗散情形，Darer—mos和Hsiao[M】给出了其解在BV空间中的存在性．后来，Dafermos将其推广到弱耗散的情形[15]．若将方程组(1．1)写成矩阵形式++f(U)=0，其中=()，，c=BB=-all-a12／，=c”，显然f(O)=0，令i=jGl(0，。=c=gii，这里l(u)=(1())是由矩阵A的左特征向量组成的2×2矩阵，l()是l(u)的逆矩阵．李大潜[16]研究了G是M一阵(即正对角相似于一个严格行／列对角占优阵)，初始值很小时，方程组(1．1)的Cau

7、chy问题存在唯一的整体解，且解的范数随着时间的增长指数退化，给出了解的衰减估计．另外衰减性方面，1998年刘太平和王维克[17]研究了奇数维空间中等熵Navier—Stokes方程组解的耗散性质，该方程组解的逐点估计得到并展示了广义的Huygens原理．1999年，Kobayashi和Shibata[】用Green函数的方法得到了粘性可压热传导气体动力学方程组的解在0空间的衰减估计．2001年徐红梅和王维克_l9_研究了偶数维空间等熵Navier—Stokes方程组解的耗散性质，得到解的逐点估计．同年王维克和杨同_20_基于对线性化方程Green函数的分析

8、和能量估计，得到带耗散项的等熵Euler方程组在多维