L_272_（R_27d_）子空间上的Gabor框架之分析

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1、引言小波分析是2(1世纪8(1年代才开始发展起来的一个数学分支，它是Fourier分析的发展和继续，是为了克服Fouriex变换、加窗Fourier变换的一些不足而提出来的，也是一种信号分析方法，它的应用相当广泛．例如，在数学方面已用于数值分析、曲线曲面的构造、微分方程求解、控制论等方面；在信息处理方面已用于图象处理、计算机识别、地震勘探、数据处理、边缘检测等；在通信、地质、生物医学、自动化等方面也得到了运用小波变换在信息处理中具有独特的优势，它可以有灵活可变的时频窗口，以适应不同频率的分辨率的需要，在时域和频域上都具有表征信号局部特性的能力．应用小波分析

2、的方法，能对几乎所有常见函数空间给出通过小波展开系数的简单刻划，也能用小波展开系数描述函数的局部光滑性质．框架(主要是抽象空间和三2(R)上的框架)是小波分析形成以后才引起人们关注的另一个研究分支．它是DufHn和Schaeffer于1952年在研究非调和Fourier级数时提出来的概念㈨那么现在为什么要关注框架研究呢?假设{n)，叫是Hilbezt空间H中的一个标准正交基，则vf∈H，f=∑(，蚋)％，j∈J其中级数在日中收敛．它表明，可以被(，，叻)和基元素％0∈J)重构．在信息处理中，分析一个信号f(x)后，如何来重构它是一个重要问题，但是，在一般情

3、况下，要我一个标准正交基来重构，是较为困难的．这样，就要求人们去寻找一种类似标准正交基但又比标准正交基弱的点列来重构信号，(z)．假设{吩)，∈J是Hilbert空间日中我们要找的点列，fl，，2∈H．那么{叻)J∈J必须满足当f1与，2很接近，即IJ^一f2Il很小时，∑f(，1，咖)一(，2，伤)12也应很小，即∑【(，，％)12sBIlfn其中B为常数．反之，当(，l，％)与(f2，％)很接近J∈。，时，l』fl—f2JJ也应很小，即AJIffi2≤∑I(，，伤)i2，其中A为常数．只有这样才j∈11能保证计算的稳定性．这就是框架的实际意义之所在．这

4、篇硕士论文讨论的是一种特殊结构形式的框架Gabol框架．L2(R)上Gabor框架发展迅速、内容丰富、应用广泛，具体参见文献【1]和【2】该论文主要内容是给出工。(剧)的子空间上Gabor框架的两个充分条件和几个充要条件．其组织如下：本文共有五节组成．第一节列出了框架已有的有关基本理论；第二节给出了L2(∥)上的Gabol框架恒等式；第三节建立了∥(』一)上的Gabor系成为框架或框架序列的两个充分条件及其它们之间的比较；第四节给出了在‘些特殊情况下L2(∥)上Gabor系成为框架序列的充要条件；最后一节讨论了频域上Gabor框架或框架序列的相应结果．2第

5、一节预备知识§l一些定义和符号本小节列出论文中使用的符号和定义：Fourier变换m)=／m)C-27rtE：r出，，∈L2(R)，平移算子(乃，)(J‘)=，(z—a)，n∈R，f∈￡2(R)调制算子(蜀，)(z)=e27ribx，(z)，b∈R，，∈L2(R)当g∈L2(R)时，定义G㈦=∑}9(z—m)12，而)_∑№+警)12，Ha(垆．三93：--7za)咖⋯～：)Zn∈。JvG二{∞∈R：G(z)=Ol，L2(R—Nc)={，∈L2(R)：z∈．vG时，(z)=o)(1．1．2)(1．1．3)(1．1．4)这里的三个级数几乎处处收敛．原因如下：

6、因为蛾(z)是以。为周期的函数，由Levi引理和Cauchy—SchwaH不等式知a乏绗⋯Ⅲx-na-舡曼／00。渺Z“’n∈Z”"#2乏和⋯∽，cX--lza--舡2毛∥mM司商肛似，商恤s(厶叭删2如)”1五阢z一；)i2如){=flail2<+。。，a．c．x6R3所以，级数Hii(x)几乎处处收敛．级数G(．。)是Hk(x)在≈=0时的特殊情况，而当把级数G(z)中的n换成{时，级数G(z)就成为级数舀丽)，因此它们也都几乎处处收敛的．4§2框架和框架序列定义1．1设{妒，}蓐，是Hilhert空闻H上的一个序列(其中J是可数指标集)．若存在常数U

7、，V(o

8、

9、，f』2≤∑f(，，妒，)f2sVfI，}f2，(12．1)J∈．，则称{仍)，。，为H上的一个框架，其中u，V分别称为该框架的下界和上界．若序列(锄}J∈，足Ⅳ的子空间i丽协，)，∈√上的框架，则称其为框架序列．假设{场)j叫是H上的框架，其下界和上界分别为u和V，当U=V时，则称该框架为紧框架。此时，显然Vf‘∈H，∑I(，螂)12=洲刘2(12．2)JE，因此，至少在弱的意义下有，=古∑(，，％)哟，VfE日J∈，它表明，可以通过(f．叻)来重构．即使框架不是紧的，在范数的意义下也有vf∈H(1．2．

10、3)(12．4)这里历=S。(哟)，S=，+，是框架算子，，+是前