投影映射下的立体几何——一道高考题的赏析

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1、1-38数学教学2014年第l期投影映射下的立体几何一一一道高考题的赏析310012浙江省杭州学军中学张玮2013年高考已结束，纵观浙江卷试题，有为点Q．若过点P向两平面的交线作垂线，该⋯些很有新意的题目，例如理科试卷第l0题，垂足即为点Q，因此PQ1=PQ2．故选(A)．题目如下：2．问题题目在空间中，过点作平面7r的垂线，此题若到此为止，则略显简单，因此笔者垂足为点B，记B=．厂丌()．设OL、是两个不同提出了如下问题：的平面，对空间任意一点P，Q1=[厶(P)]，问题1对于该考题中的平面与平面Q2=，0[(P)】，恒有PQ1=PQ2，则⋯·()除了相互垂直以外，是否还

2、有其他的位置关系?fA)平面OL与平面垂直；问题2对于给定的平面与平面是(B)平面OL与平面所成的(锐)二面角为否存在一点P，使得PQ1=PQ27如果存在那45。；么点P的位置在哪里，这个位置是不是PQ]=(C)平面Q与平面平行；PQ2成立的充要条件?(D)平面与平面所成的(锐)二面角为问题3由解法可知，当上时，Q1、Q260。．两点重合．那么对于任意点JF)，Ql、Q2两点能此题以线面垂直为背景，引入了投影映射，重合的充要条件是什么?让人耳目一新．此题主要考察学生的阅读能力，3．探究以及对“生面孔”的分析和解决能力，是一道难先讨论／／的情况．显然，该位置关系都得的好题．考

3、后笔者与考生进行交流，大多数不满足问题l和问题3的要求．因此只需要讨学生都能给出正确答案，但都是考虑特殊情论是否满足问题2即可．设点P到平面Ol的距况，即选项(A)和选项(C)，验证后发现(A)正离为d，点P到平面的距离为d．若点P在确，(C)错误，而说不出(B)和(D)选项为什么其中一个平面上，不妨设P∈Oz，则d=0，错误．此乃本题的不足之处：思维量不够．笔者故=PQ1>PQ2=d=0；若点P在两平对此题作了深层次的思考，现写出来，与大家面同侧，不妨设d<，则PQ1=>d=分享．PQ2；若P在两平面异侧，则由PQ1=d侣，1．解法PQ2=d。知，PQ1=PQ2=d．故当

4、此题作为选择题，解法较为简单．若平面／／时，PQ1=PQ2的充要条件是点P落在与平面垂直，则Q1、Q2两点重合，不妨记与两平面平行且和两平面等距离的平面上．补法将所求图形转化为矩形，易得面积S=以上分别从研读图像、作出图像、变换·兰=主．或用定积分得s=11¨图像、构造图像等视角，分析了上海高考数学试题对函数图像的考查方向，以期对相关问题(一10x2+10=三．的教学提供参考．2014年第1期数学教学1——39若与不平行也不垂直，则设它们相交Ql=icot0f(d+COS)，⋯⋯⋯⋯(★)于直线a．过点P作平面的垂线，垂足为点B：同理过点P作平面的垂线，垂足为点；直线AQ]

5、Q2=fcot0f(d+dCOS)．⋯·⋯．．(★★)交a于点．由PA_L／3、BQI--L／~知PA／／BQ1，由Q2Q；=CQ~+CO；一2CQ1·Q2COS0故PA*~JBQ]共面，不妨记该平面为．因PB~及(★)、(★★)可知，点Q2、Q1重合Q2Q1OZ，故1_1．；因AQ2J—，故AQ2c，即尸、JE}、=0铮d4-d4-2COSOdd=0锚d+、、Q1、2六点共面，且JE；、、Q2共线．一2COSZAPB=0~---FP在两个不同平若两平面所成的锐二面角为(如图1)，则面Ol、内的射影、B重合．由于对于任意ZPB0,1=ACB=0，故Q1=_Psin0=点P，

6、射影、B都要重合，故两平面、重dsin；若两平面所成的钝二面角为(如图2)，合，矛盾．证毕．则APB=7r一B=丌一，故AQ1=BP由结论3的证明，不难得到如下结论．sin(~一0)=dsin．故PQ}=AP+Q；=结论4若OL不垂直，则Q1、Q2两点重d+dsin0，同理PQl=BP。+BQ；=合当且仅当P点在两平面交线上．d，+sin0．4．思考故PQ1：PQ2甘d+醒sin0=兹+考题经过上面的探究，略显完整，但是dsin0骨COS0(4一喙)=0甘COSO(dz—笔者仍然觉得意犹未尽，因此笔者又再次审d)：0，耳口PQ1=PQ2{dQ=d口，故PQx题．对于给定的平

7、面OL与，对点Q1、Q2再做=PQ2的充要条件是点P落在两平面的角平变换，并令Q2卅1=f9[厶(O2一1)]，Q2+2=分面上．厶[(Q2)]，则可得数列{PQ]-，若PQ1=PPQ2，那么对任意自然数n，PQ2n一1：PQ2是否恒成立?若PQ1≠PQ2，是否存在自然数k，使得当"rt≥时，PQ2一1=_PQ2恒成立?经过再次探究可得如下结果：图1图2结论5若PQ1=PQe，~,I]pQ2一1=PQ2恒成立；若PQ1≠PQ2，则不存在自然数，使由上述探究过程可知，对于问题1和问题得当礼≥时，PQ2一1=PQ2恒成