距离之美---一道高考题的赏析-论文.pdf

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1、2013年第11期数学教学11一五1距离之美一一道高考题的赏析200433复旦大学附属中学王岚(2011年高考上海卷理科第23题)已知平垂足在线段上，则垂足与点P的线段为PQ的面上的线段2及点P，任取f上一点Q，线最小值，即“点到直线的距离”；若垂足落在线段PQ长度的最小值称为点P到线段Z的距段的延长线上，则线段靠近垂足那个端点与离，记作d(f)．点P的连线段为PQ的最小值，即“点到点的(1)求点P(1，1)N线段z：X-y-3=0(3≤距离”．这不仅给我们带来新鲜感，而且对距离X≤5)的距离d(P1Z)；概念作出了合

2、乎情理的有益推广，这种推广还(2)设f是长为2的线段，求点的集合D=给我们带来数学的美感．fPId(Z)≤1)所表示的图形的面积；题(1)：过点P作线段所在直线的垂线，(3)写出到两条线段?l、f2距离相等垂足落在线段的延长线上，所以在线段的端的点的集合Q={PId(P’l1)=d(Pjf2))，其点(3，0)取得最小值、／(1—3)+12=、／／5．中Z】=AB，22=CD，A、B、C、D是下列三题f2)：若垂足在线段上，则是线段f左组点中的一组：右两侧与其平行的两条线段，若垂足在线段对于下列三种情形，只需选做一种：

3、的延长线上，则是分别以线段两头的端点为①A(1，3)，B(1，0)，c(-1，3)，D(-1，0)；圆心，1为半径的半圆，并且这两条线段与②A(1，3)，B(1，0)，C(-1，3)，D(-1，一2)；两个半圆围成一个封闭图形(如图1)．所以，③A(0，1)，B(0，0)，C(0，0)，D(2，0)．集合D=fPId(2)≤1}所表示图形的面本题立意新颖，构思巧妙，计算量不大，不积S=4+7r．同程度的考生都能动手一试．所涉及的知识点，主要是轨迹的概念：到两定点距离相等的点的集合是连结这两点的线段的垂直平分线；到一定点

4、距离等于定长的点的集合是以该点为圆图1心、定长为半径的圆：到一定点和一定直线距离相等的点的集合是以该点为焦点、该直线为解完题(2)，不禁想到把本题进一步拓展，准线的抛物线．这些显然是与中学教材紧密相放到立体空间中去思考，体会数学的趣味．扣的．此外，本题要求考生有较强的抽象思维拓展(1)若把线段和点放在空间，集能力，能理解和掌握数学概念的本质特征并进合D={P1d(尸jf)≤1)所表示的图形如图2所行运用，体现了能力立意的命题导向．示，即中间一个圆柱，两头各半个球．题中“点到线段的距离”的概念乍一看似曾相识，很像“点到直

5、线的距离”，但其表达形式不同，内涵也有所拓展．考生借助“点到直线的距离”，分析拓展得到“点到线段的距离”的几何意义：过点P作线段所在直线的垂线，若图211一2数学教学2013年第11期拓展(2)把线段类比成一个封闭图形，类设Y轴右边半圆方程是(—n)+Y=比定义“点到封闭图形的距离”：已知平面上l，X∈，a+1]，取Y为积分变量，积分区间的封闭图形OL及平面外一点P，任取OL上一为[0，11，整理圆方程得：X=a+、／／l—y2，Y∈点Q，线段PQ的长度的最小值称为点P到[0，1]，可求得图4鼓的体积封闭图形的距离，记

6、作d(P1)．求点集D：{PId(尸_IOL)≤1}所表示的图形的体积．：2(0+衙)妇Jfi)若OL是长为2宽为1的矩形．由图3可0知，集合D是由平面OL上下的两个长方体，前后左右各半个圆柱体以及四个角上各{个球所构=27r／(n+1一Y。+2a、／)dO成的图形，所以V：方体+柱1+柱+=4+=2丌[／．c。2+，dy-／2d+2n／俯dO图3：2丌[(a2+1)一+虿aTr](ii)若是边长为2，一锐角是60。的菱=27ra。+丌+丌。0．形．此时，平面OL上下是两个直棱柱，前后左题(3)：这一小题给出了两条线段

7、三种不右是四个相同的半圆柱体，而四个角上由于角同的位置关系．对于每一种位置关系，到两条度不同，图形也不同，但拼在一起还是～个球．线段距离相等的点的集合必须分成几种情形，所以：棱柱+2柱+=4+7r．所以要考虑对坐标平面作全面的分析．能想到推广到一般：若是边长分别为a、b，一要讨论是能力，能选择一个标尺做到无遗漏无锐角是的平行四边形．此时点的集合D=重复更是一种能力．{P『d(P，Oz)≤1)所表示的图形的体积①如图6所示，由直线=l，X=一1，Y=V=棱柱+柱1+柱2+=2absinO+3，Y=0把坐标平面分成了9个区

8、域．(。+6)丌+—lfiii)若是半径为a的圆．此时，平面oL123C上下是两个圆柱体，四周是半圆环(如图4)，形_●⋯状像一个鼓．456DDB789图6图4在第5区域里到两条线段B、D距其体积可以通过积分求得．把图4的一截离相等的点是这两条线段的对称轴，第2区面放在坐标平面内(如图5)，将Y轴右边的图域里到两定点A、C距离相等