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1、武测科技沪反沙以七卜】飞乐年第飞期地图曲线的分形插值王桥武汉测绘科技大学国土信息与地图科学更劝、提要将分形插值函数作为一种地图图形数据处理的新型工具进行了红姿丫绍、,。讨论了有关的性质算法并￡今出了一些实例关键词分形理论分形插值函数迭代函数系吸引子,,锐·,、,。了〕。‘引言,。在地图图形数据处理中需要对地图图形进行数学描述目前主要采用基于光滑性约束条,“”和“”,,件的插值函数作为工具由于引进了过多的光滑近似对于一些复杂的图形描述往往,,、。产生失真现象因此需要研究地图图形的更加有效逼真的表示方法、非规则现象开辟,创立的分形理论为研究复杂了一条新的途径近年来已被。,广泛和成功
2、地应用于众多领域〕地图图形来源于复杂的地理现象很多都具有明显的分形。,,特征所研究的实际问题中第一个例子就是海岸线这已成为说明自然界存在自。,、,相似性的典型例证一些研究结果表明对于诸如海岸线山地轮廓线之类的复杂图形运用基,。于分形理论的分形插值函数进行描述可以获得良好的效果,在充分小的范围内过某点的切线段可以作为欧氏函数有一些共同的特点过这点的曲线,。,段的有效近似而且这些函数曲线的分维通常是欧氏函数用途很广不仅因为它们的几何,,,意义而且因为它们能够用简单的公式表达提供了一种在计算机上存储空间小可以通过快。速算法计算的通用的科学工作语言分形插值函数可以看成一种发展了的科学工
3、作的通用语,。言它可以近似地描述那些欧氏函数不能很好描述的复杂图形它也可以像欧氏函数一样由“”,,。公式简明地表示并且可以应用仿射邓定理随机迭代算法和确定性算法快速计算它与,,。欧氏函数主要不同之一在于它具有非整数维数事实上这也正是它的优越之处定理与定义我们首先给出数据集及插值函数的定义不,,,一,,⋯,。,定义形如凡不凡任尸⋯的点集称,一,,,为数据集相应于此数据集的插值函数是一个满足插值条件云一双⋯的连,,,。收稿日期一一王桥男岁副教授现从事机助制图及研究第期王桥地图曲线的分形插值。,。,,。续函数了「工却习点气石只任叫做插值点我们称函数插值于这些数据下面类似于计算方法中引
4、人多项式插值函数的方式,我们给。出分形插值函数的定义‘根据分形理论可以知道,尸上的迭代函数,系的吸引子通常是分形而的吸弓子的图象可通过所谓确定性算法及随机迭代算法来快速、容易。,“地画出为此我们提出设想构造一个尸上,,的使它的吸引子恰为插值于给定数据集着,一。,,,。,⋯的连续函数巨〕的图”。象,为叙述方便起见我们只考虑具有形式,,,·,飞讥一⋯的其中以成成是具有特殊结构的仿射变换,、尖。〕匕二妇工、一,一‘凤」口式」,设为一垂直于轴的线段易知做也是。,一条垂直于轴的线段记讯一试我们称。,,试为变换讯的垂直比例因子若成一‘,,,,。,、。。‘。,,,。,,,、一,⋯’‘’产’“
5、将切得叮到”分碑段线性‘插因值函数’若击”镇人’则乃书呐山以林们、一二‘,、一一一一一一。,。五,,方‘向的压缩强于刁方切向’一注‘意’到尸不吕了‘及一,,“‘”“兴,。‘碑一‘、一一一。,,、,,二,,‘、一卜人‘、,、士介立环瑞的不动点,、,‘户共二号为’甲及’令矩阵一的表凡洲、‘’产叭‘”八“”‘一、’”,丁”‘一例一,尸,值取定使袱几讯成镇一并连接直线段【讯尸,,讯尸〕,使其组成一多角形,则此的吸引曲线子可以由反复用的仿射象取代直线段而构造出来见图。。自仿射曲线的构造过程仿射变换和把尸,尸尸,三角形尸分别变成及把垂线变。。,,‘,,成垂线多角形曲线⋯由一瓜,。劝得出并给
6、出的越来越好的逼近上述的仿射变换可以推广到,在方向不图是具有相同压缩比的情形即点的分形插值中所用的间隔不等,为了不失一般性,以下都是针对满足条件刁,一、一,,,,侧⋯翻⋯川⋯补⋯的仿射变换一、。到侧少⋯划⋯进行讨论武测科技年,,,,,、。、、、设〔⋯则变换袱由满足如下个方程的个实数‘人确定,两‘几一,工‘几。一‘试人一凡入十试尸人一凡,,。显然每个变换中应有一个自由参数由凤的特殊性我们自然选取它作为参数令风为任意取定,解方程一得的实数一一入尸”。刀沁一几凡一凡试凡一工艾一一工二一‘工对一沈一石一。,一一。。尸凡凤一几一工一我们可以证明以下定理,则存在尸上,定理设是大于的正整数的
7、一个相当于欧几里得度量的度量使得,。,,。关于上述是双曲型的特别地唯一存在一非空紧集仁尸使一”,设为定理中的的吸引子则下述定理可从理论上证明我们开始提出的设想的正确性。,,,一,,,定理在定理的条件下是一个插值于数据集凡⋯的连续函数,,,,。了〔两」一的图象即一」,。,以上两定理的证明较复杂在此从略基于上述讨论我们可以给出分形插值函数的定义、,定义函数的图象若是上述定理定理中所描述的的吸引子则称为,‘,,,,。相应于数据集刃⋯的分形插值函数,、,。,‘,,‘,,如果想得到具有给定分维并且经过
