分形几何与分形插值

《分形几何与分形插值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、分形几何与分形插值孙洪泉教授第一章绪论1.1分形的起源人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在经典几何学中,我们可以用直线、圆锥、球等一类规则的形状去描述诸如车轮、道路、建筑物等人造物体。因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。然而在自然界中,却存在着许许多多极其复杂、极不规则的形状。例如,海岸线、山川、河流、岩石、断裂、森林、闪电等等。它们都是非规则形状,用欧几里德几何是无能为力的。下面我们给出欧氏空间中不能解释的一些的“奇怪”现象。koch雪花的面积有限，周长为无限。这是欧氏空间中的“奇怪”现象。为了说明这样的事实，

2、下面我们给出koch雪花的生成步骤（如图1.1所示）。取周长为1的正三角形为初始元。第一步（k=1）：将边长三等份，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元（见图1.1）。原三角形每条边都用生成元替换，得到具有6个凸顶点的12边形。第二步（k=2）：对第一步得到的图形，同样将其边长三等份，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。如此方法，一直作下去，当k→∞时便得到Koch雪花。运用初等几何和初等代数知识不难求得每一步图形的周长（设k为步数；L图形边长）：由此可见，随着

3、n→∞时，Koch雪花的周长Ｌ→∞。初始元k=0:L=1生成元k=1:L=4/3=(1+1/3)1n→∞,L→∞k=2:L=16/9=(1+1/3)2……k=n:L=16/9=(1+1/3)n图1.1Koch雪花的生成然而，由Koch雪花的制作过程可知，每一步的图形都包含在半径为1的单位园中。因此Koch雪花的面积是有限的。这种面积有限、周长为无穷大的图形在欧氏空间中也是一种不可思意的“奇怪”现象。为什么会有这种“奇怪”的现象发生呢？从分形的概念引入之后，人们发现用上述方法作出的Koch雪花边长是极其复杂，它的维数已不是欧氏空间中曲线的维数——1维了，它的维数是大于1维的。但这个边长也不能填

4、满任何一个小的面积，所以它的维数是小于2维的。同样，在测量英国海岸线时，人们发现海岸线的长度随着测量时使用的码尺的变小而增大。1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位。以1km为单位测量海岸线，那些短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以1m为单位测量，那些大于1m的迂回曲折就能被测量出来，所以测出的长度将变大。测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大。如果这些愈来愈大的长度能趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。难道海岸线的长度是不确

5、定的，或者说，海岸线是无限长的。为什么？后来人们发现，英国海岸线以及Koch雪花的周长都是极其复杂的几何图形，它们的维数是介于1～2之间的分数维。而我们使用的量测码尺都是一维的。用小于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是无穷大；反之，用大于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是零。上述例子说明确实存在维数不是整数的图形，分数维——分形几何的思想便从这里萌芽。“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。1973年,法国数学家BenoitB.Ma

6、ndelbrot在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。他创造了“分形(Fractal)”这个新术语。分形(Fractal)这个词出自拉丁语fractus,其原意具有不规则、分裂、支离破碎等意思。引入到中国，Fractal这个词起初被人们译为“分形”、“分维”、“分数维”、“分维数”等。现在已基本上统一称为“分形”。BenoitB.Mandelbrot创立的分形几何，借助于自相似性原理，洞察于混乱现象中的精细结构，其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的复杂无序，而又具有某种规律的系统，它为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供了新的方法，为研究自然界中的不规则现象提供了一种定量

7、描述手段。因此,近年来分形几何不论在理论上,还是在应用上都得到了迅速的发展。1.2什么是分形我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。在传统欧氏几何学里，人们总是把研究对象想象成一个个规则的形体：直线、圆形、方形、曲面、立方体等，而我们生活的现实世界中存在的物体，竟有如此多的不规则和支