关于分形插值函数的积分.pdf

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1、国防科技大学学报第23卷第1期JOURNALOFNATIONALUNIVERSITYOFDEFENSETECHNOLOGYVOi.23NO.12001文章编号：1001-2486（2001）01-0081-04!关于分形插值函数的积分屈田兴（国防科技大学理学院，湖南长沙410073）摘要：用反例说明在［1，2］中关于分形插值函数的积分公式是错误的，并建立了关于分形插值函数积分的正确公式。关键词：数据集；迭代函数系；分形插值函数中图分类号：O18；O241.3文献标识码：AOntheIntegralsofFractalInterpolatingFuncti

2、onsOUTian-xing（COiiegeOfScience，NatiOnaiUniv.OfDefenseTechnOiOgy，Changsha410073，China）Abstract：AcOunterexampieisgivingtOshOwthattheintegraifOrmuiaOffractaiinterpOiatingfunctiOnsin［1］［2］isfaise.Further-mOre，thecOrrectfOrmuiaisestabiished.Keywords：dataset；interatedfunctiOnsystem；fr

3、actaiinterpOiatingfunctiOn在实际中，我们常会遇到这种情形：已知某有限区间［a，6］上的函数F的存在性，而不知F的具体表达式。为此，常对F的图像G（F）=｛（x，F（x））x"［a，6］｝或其轨迹进行间隔采样，即设a=x0

4、规则性，经典的插值函数难以较好地拟合F。为此，Barmsiey提出了如下的分形插值方法：对数据集（1），取迭代函数系｛R2；S，⋯，S｝，其中每个S：R22均是仿射变换，形如1Ii#Rxai0xeiSi()=()()+()（2）yciiiyfi且满足x0xi-1Si()=()F0Fi-1xIxiSi()=()（3）FIFi在（3）式中，每个Si的5个参数ai，ci，ii，ei，fi中存在一个自由参数，一般取ii为自由参数，称之为垂直尺度因子。一般限定0$ii<1，i=1，2，⋯，I（4）任意取定i1，⋯，iI满足（4）式，则由（2）式解得xi-xi-1a

5、i=xI-x0!收稿日期：2000-09-02基金项目：国家自然科学基金资助项目（69872039）作者简介：屈田兴（1957-），男，副教授。82国防科技大学学报2OOl年第l期Fi-Fi-lFI-FOci=-iixI-xOxI-xOxIxi-l-xOxiei=（5）xI-xOxIFi-l-xOFixIFO-xOFIfi=-iixI-xOxI-xO注意在ai，ci，ei，fi中仅ci，fi与ii的取法有关，而ai，ei与ii的取法无关。定理l当I>l时，对上述迭代函数系｛R2；S，S，⋯，S｝，存在R2上与欧氏距离等价的距离l2I!，使｛R2，S，S，

6、⋯，S｝是（R2，）中的双曲迭代函数系，从而存在R2中唯一的紧集G使!'l2I!'IG=US（iG）i=l即G是双曲迭代函数系｛R2；S，S，⋯，S｝的不变集。l2I定理2定理l中的G必是某个插值于数据集（l）的连续函数f：［xO，xI］、R的图像，即G=G（f）（称这样的f为数据集（l）的分形插值函数）。定理l与定理2的详细证明见文献［l，2］。为本文主要结果证明的需要，下面给出定理2的证明概要。设!=｛gg6C［x，x］，g（xO）=FO，g（xI）=FI｝OI易见!是C［x，x］的完备子空间。OI令T：!、!为（Tg）（x）=cil-i（lx）+i

7、ig（l-i（lx））+fi，x6［xi-l，xi］，i=l，2，⋯，I（6）其中li：［xO，xI］、［xi-l，xi］定义为l（ix）=aix+ei，它是可逆的线性变换。易证，对g6!，Tg是满足插值条件的连续函数，且T：!、!是压缩映射。于是由压缩映射原理知，存在唯一的f6!，使Tf=f，即f是插值于数据集（l）的连续的插值函数，且G（f）是｛R2；S，S，l2⋯，SI｝的不变集。再由定理l中不变集G的唯一性得G=G（f）.说明当取il=i2=⋯=iI=O时，定理2中的f恰为经典的分段线性插值函数，记之为fO，相应于f的诸S的参数记为a，cO，e，

8、fO。OiiiiixI对于定理2中的f，我们常常要计算积分I=J（fx）dx.但