代数曲线上的lagrange插值

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1、Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:https://www.researchgate.net/publication/265639620LagrangeinterpolationalonganalgebraiccurveArticle·January2001CITATIONSREADS042authors:Xue-ZhangLiangLihongCuiJilinUniversityLiaoningNormalUniversity62PUBLICATIONS250CITAT

2、IONS7PUBLICATIONS12CITATIONSSEEPROFILESEEPROFILESomeoftheauthorsofthispublicationarealsoworkingontheserelatedprojects:www.xzliang.comViewprojectAllcontentfollowingthispagewasuploadedbyXue-ZhangLiangon06June2017.Theuserhasrequestedenhancementofthedownloadedfile.2001年7月吉林大学自然科学学报第

3、3期No.3ACTASCIENTIARUMNATURALIUMUNIVERSITATISJILINENSIS2001-07代数曲线上的Lagrange插值梁学章,崔利宏(吉林大学数学研究所,长春130012)提要:探讨沿代数曲线进行二元Lagrange插值时有关插值适定结点组的递归构造理论问题,所得结论推广了这一问题的以往结果.关键词:代数曲线;二元Lagrange插值;适定结点组中图分类号:O174.41文献标识码:A文章编号:0529-0279(2001)03-0017-04我们在文献[1～4]中提出了多元插值适定结点组及沿代数曲线插值的基本概念,

4、给出了构造二元插值适定结点组的一种递归方法.本文进一步研究沿无重复分量代数曲线的插值问题,并将文献[2]中所提出的利用直线与k次代数曲线相交构造插值适定结点组的方法推广到利用圆锥曲线与k次代数曲线相交的情形.n+2ij设n为非负整数,dn=,Pn=∑aijxy

5、aij∈R表示所有全次数不超过n的二元20≤i+j≤n多项式空间.设p(x,y)∈Pn,p(x,y)≠0,则称所有满足方程p(x,y)=0的点集为Pn中的代数曲线.若多项式p(x,y)不能表示为两个次数不低于1的多项式之积,则称多项式p(x,y)(代数曲线p(x,y)=0)是不可约的.[1]d2

6、d定义1设{Qi}i=n1是R上的dn个相异点,若对每一个任意给定的实数组{fi}i=n1,均可找到惟一的多项式P(x,y)∈Pn,使之满足插值条件:P(Qi)=fi(i=1,…,dn),则称该插值问题是适定插值问d题,并称{Qni}i=1是Pn的插值适定结点组.n+2d很明显,条件dn=dimPn=是{Qi}i=n1能够成为Pn的插值适定结点组的一个必要条件而2非充分条件.例如,在直线上任取3个不同点做成的结点组关于P1进行插值,以及在圆周上任取6个不同点做成的结点组关于P2进行插值,均构成不适定问题.这与单变量插值的情形有较大的差[5]异.由此可见

7、,构造出多元插值的适定结点组是多元插值的一个首要问题.[1]dd引理1{Qnni}i=1是Pn的插值适定结点组的充要条件是{Qi}i=1不落在Pn中的任何一条代数曲线上.[1]d定理1设{Qi}i=n1是Pn的适定结点组,且它的每个点都不在某条l次(l=1,2;l=1表示直线;l=2表示圆锥曲线)不可约代数曲线q(x,y)=0上,则在该曲线上任取(n+3)l-1个不同的点与d{Qi}i=n1一起必定构成Pn+l的适定结点组.由定理1,得到构造二元插值适定结点组的添加直线法和添加圆锥曲线法的递归构造法.文献[2]中提出了沿无重复分量代数曲线插值的概念.对

8、于多项式P(x,y)∈Pn,如果其分解式中没有重数≥2的重因子,则称其是无重复分量的;而与之相对应的代数曲线称为无重复分量代数曲线.[2]定义2设k为自然数,q(x,y)=0为k次无重复分量代数曲线,n+2n+2-k(n+1)(n+2)/2,n

9、)∈Pn惟一地存在,则称结点组Un={Qi}i=1为沿k次代数曲线q(x,y)=0的n次插值的