复射影空间中具有常数量曲率的完备全实子流形

《复射影空间中具有常数量曲率的完备全实子流形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)NO．4复射影空间中具有常数量曲率的完备全实子流形刘敏(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241000)摘要：本文研究了复射影空间中具有常数量曲率的完备全实子流形的问题．利用丘成桐的广义极大值原理和自伴随算子，获得了这类子流形的某些内蕴刚性定理．关键词：复射影空间；完备；数量曲率；全脐MR(2010)主题分类号：53C42中图分类号：O186．12文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)04—0898-071引言设CP时p是具有Fubini—Stud

2、y度量的复几+P维复射影空间，全纯截面曲率为常数4．设为CJF)n+p的复结构，M为P+p的实n维子流形．如果Mn上每点切空间被变换到自身，则称Mn是P凡+的全纯子流形．与此相反，若M上每点的切空间被变换到该点法空间，则称M为P时的全实子流形．关于具有常数量曲率子流形，Cheng和Yau最早研究了空间形式中的常数量曲率超曲面(见文献⋯)，引入了一个白共轭的二阶椭圆算子，这个算子现在仍是我们研究具有常数量曲率子流形的重要工具．本文研究复射影空间中常数量曲率的完备全实子流形，得到了定理设M是P叶中具有常数量曲率(R1)的完备全实子流

3、形则1)当P=1或P2，

4、n3或P3，n>7时，若supS2，则M是CP凡+p中的全脐子流形．2)当P3，3

5、)；i，J，，⋯=1，⋯，n；Q，，7，···=n+1，⋯，n+P，1，·一，(礼+p)；A，⋯=几+1，⋯，n+P．收稿日期：2013—04—11接收日期：2013一Ii一20基金项目：安徽省高等学校自然科学研究项目基金(KJ2011Z149)．作者简介：刘敏(1980一)，女，安徽芜湖，讲师，主要研究方向：微分几何No．4刘敏：复射影空间中具有常数量曲率的完备全实子流形899以A}表示{eA)的对偶标架场，则Pn+的结构方程为A=一∑ABA03B，BdAB=一∑~dACAt,dCB+1∑BG。c八(2．2)CCD其中=02i

6、j，02i+J=“0·i，=++=+，O．2i~t=02i·，02i=·i；(2．3)KABCD=6AC6BD一5ADSBC+JACJBD—JADJBc+2JABJGD(2．4)这里(B)为线性变换关于{eA)的变换矩阵，即一(一却，(2．5)其中厶+为n+P阶单位矩阵．将上述形式限制在M上，则有u：0，=∑，(2．6)h=二曷e，==，(2．7)＼d~di=-jwijA(2．8)I一八幻+互1R八R啪+∑(一hilhj~k)，(2．9)=一∑八+互1∑R，(2．10)fR。卢玎=玩卢+E(hikhkj一，)k其中P~jkz，R

7、。flij分别是M”的Riemann曲率张量场和法曲率张量场关于{eA]．的分量．进一步，M的平均曲率向量场∈，平均曲率H，第二基本形式模长平方及标准化数量曲率R可表示为∈=∑(∑)e。，H=l，s：ll。(2．12)nn(n一1)R：n(n一1)+n2H一S．(2．13)数学杂志Vl01．35用k及z表示的共变导数，则hick—hiakj=一‰=0，(2．14)f一=∑(R咄z+)一∑eR。，(2．15)m口由(2．14)，(2．15)式，且记的Laplacian为△，则△s=∑(易)+∑曷+礼s_n2H+2∑[tr(。)2~

8、tr(A。2^p2)]i,j，k，口，J，k，口口，>+1一∑[trA]。一∑[trA+]。～∑[tr州]+2E[tr(An+1)，>n+1n>竹+1卢卢trA2，＼+；)】+∑(tr。。Az)·trAz+∑mn(2．16)a．口>一可选取en+l=砉[2】)此时(2．16)式变为是实专AS=∑(％)。+∑(nil)+nS—n2H+2∑[tr(A)一数tr(A；)]∑且。一∑[trA]。一∑[tr+]。一∑[tr+]+2∑[tr(An+1)。吼Il0一trA2+1)]+nH∑(tr州)+nHtr(A+)+∑tr2．(2．17)贝

9、U另外，我们需要下面的引理引理1[3J设a1，a2，⋯，an，b1，b~bj(at—aj)一(∑。)(∑6)、0，引理2【]设al，a2，⋯，0(n2)是实数，且满足∑ai=0．则有i∑。礼一2(∑。)}且等号成立当且仅当至少有礼一1个ai相等．引理3[一6]设