Ricci曲率与完备黎曼流形的有界性

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1、RiccicurvatureandboundednessofcompleteRiemannianmanifoldbyLongYangDirectedbyProfessorJiaqiangMeiDepartmentofMathematicsNanjingUniversityMay2011SubmittedinpartialfulfitmentoftherequirementsforthedegreeofMasterinAppliedmathematics目录目录⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯i中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．ii英文摘要⋯⋯⋯

2、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．iii第一章引论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11．1研究对象⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．11．2主要结果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．11．3准备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．1第二章Ricd曲率有非负下界时的情形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．2第三章Myers定理的直接推广⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．4第四章Ricd曲率局部下界为负时的情形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6第五章Ricci曲率在积分条件限制下的情形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯105．1不确定Ricci曲率有下界时的较抽象结果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．

3、105．2Ricci曲率下界为0时的情形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．125．3Ricci曲率有负下界时的情形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．125．4不确定Ricci曲率有下界时的较精确结果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．15第六章总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．19致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20鱼室叁堂堑窒生些些垒耋圭耋垫羹董亘旦丝毕业论文题目：Ricci曲率与完备黎曼流形的有界性应用数学专业2008级硕士生姓名：杨隆指导教师(姓名、职称)：梅加强副教授摘要Myers定理是黎曼几何中的一个经典定理，该定理

4、由Myers于1941年证明，它表明如果一个n维完备黎曼流形的Ricci曲率有正下界(n—i)k2，那么这个n维完备黎曼流形的直径不会超过垩．与该定理类似的一个较弱结果是由Bonnet提出的，它表明在一个较强的假设即截面曲率有正下界的情况下有着与Myers定理相同的结论．此外，如果一个扎维完备黎曼流形的截面曲率≥k2(砖>0)且直径等于吾，那么该流形与一个半径为丢的n维球面等距同构，这个结果就是著名的Toponogov最大直径定理．当Ricci曲率有正下界时，也有相应的最大直径定理．Myers定理的结果对于Ricci曲率有正下界的n维完备黎曼流形的万有覆盖空间也是成立的，特别

5、地，该流形及其万有覆盖空间都是紧致的，从而其万有覆盖空间的叶数有限并且该流形具有有限基本群．本论文中，我们将给出Myers型定理的综述．在放宽Myers定理中的条件下，探讨Ricci曲率的下界条件可以减弱到什么地步仍能保证n维完备黎曼流形的有界性．我们将考虑Ricci曲率为非负时的情形，也考虑Ricci曲率的下界为负时的情形，以及Ricci曲率无下界时的情形，并讨论在这些情形中需要对完备黎曼流形引入哪些限制条件来保证其直径仍然有界．关键词：完备黎曼流形，Ricci曲率，截面曲率，直径，万有覆盖空间，基本群THESIS：Riccicurvatureandboundednesso

6、fcompleteRiemannianmail—ifoldSPECIALIZATION：AppliedmathematicsPOSTGRADUATE：LongYangMENTOR：ProfessorJiaqiangMeiAbstractMyers’theoremisaclassicaltheoreminRiemanniangeometry．netheoremwasprovenbyMyersin1941，itstatesthatifa92-dimensionalcompleteRiemannianmanifoldwithpositiveRiCCicurvaturelowerbo

7、und(n一1)k2，thenitsdiameteriSatmost垩．Theweakerresult，duetoBonnet，hasthesameconclusionbutunderthestrongerassumptionthatthereiSlowerboundofsectionalcurvature．Moreover,ifa佗．dimensionalcompleteRiemannianmanifoldofsectionalCUl'Va-turesbeboundedbelowbyk(k>0)and