径向截面曲率有下界黎曼流形的微分同胚定理.pdf

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1、数学物理学报径向截面曲率有下界黎曼流形的微分同胚定理谢治琦z吴传喜0李光汉(首都师范大学数学科学学院北京100048；。湖北大学数学与统计学学院武汉430062)摘要：研究了径向截面曲率以一类旋转模曲面的Gauss曲率为下界的非紧完备黎曼流形的拓扑，得到了该类黎曼流形与欧氏空间微分同胚的一个合理的充分条件，推』了径向截面曲率有常数下界完备黎曼流形的微分同胚定理．关键词：微分同胚；径向截面曲率；模曲面．MR(2000)主题分类：53C20；53C42中图分类号：O186文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—992—07l引言和结果没(^，g)是完备非紧

2、的礼(2)维黎曼流形．对于任意一点P∈M和任意的r>0，用璐(p．r)表示以P点为中心，以r为半径的测地球，用s(p，厂)表示相应的测地球面．用R表示中从P∈M点出发的射线集(点集)，显然是M中的闭集．本文中，如不特别声明，所有的测地线都为正规测地线．定义(见文献[1，8，13])(p，)二maxd(，刺此处d表示M上的距离函数．根据定义，我们有(p，r)0∈)若"是具有非正截面曲率的单连通完备黎曼流形，则(p，z)三0因为在这种情况下吖上任意一点都落在从P∈M点出发的射线上．Xia[。】证明了若是具有非负截面曲率的n(2)维完备开黎曼流形，存

3、在点P∈M使得(p，r)0成立，则M与欧氏空间微分同胚．Wang—Xia[11]证明了若开黎曼流形的截面曲率二次递减并趋于零，且存在常数e>0使得(p，『r)

4、No．4谢治琦等：径向截面曲率有下界黎曼流形的微分同胚定理993中推广了Wang—Xia[]的定理使之对于一般的曲率递减情形也成立，即对于任意给定的非负单调递减函数(r)，使lira(r)0，存在正常数E，∈(0，1)且E+<1，使得对于任意r—。。的非紧开黎曼流形M满足p(r)一((r))和丽1n{COsh(+)对所有的>0都成立，其中点P∈M，则此流形和欧氏空间微分同胚．本文中我们将研究径向截面曲率有下界的完备开黎曼流形，其中的模曲面是旋转曲面．我们找到了一个合理的条件可以确保流形和欧氏空间”微分同胚．令7_((州=maxd(z，n2r))，r>0·(’)∈)很明显(

5、p，r)7L((p，r)对所有的r0成立．设(廊，)是具有基点∈的完备非紧的二维旋转曲面，其度量为dg。=dt+，。(t)ao，v(L，)∈(0，。。)×(1．2)此处f：(0，。。)一R是光滑的正函数且在0点可以延拓成偶函数s={V∈lIvLI=1)．令G。：[0，。。)一表示(，)的径向截曲率函数，此处G是庇的高斯曲率，表示从=(0)∈出发的经线．注意，()是具有初始值f(O)=0和，(O)=1的微分方程l，()+G(())．，()一0的解．令(M，P)表示基点为P∈M的n(2)维完备开黎曼流形．我们说(M，P)关于基点P∈M的径向截面曲率以一个非紧的旋转模曲面(廊，

6、)的Gauss曲率为下界，是指从P=(O)点出发的任意极小测地线：[0，a)一M，其截面曲率KM满足KM(crt)G(())对所有t∈f0，0)和成立，其中表示由)和M在7()的所有切向量生成的2维线性空间．我们的主要结果如下．定理1设(M，P)是n(2)维完备开黎曼流形，关于基点P∈M的径向截面曲率以一个具有度量形式为(1．2)的非紧旋转模曲面(，)的Gauss曲率为下界．对于任意的r0，存在函数(r)>0，使得不等式。<994数学物理学报Vo1．34A对于所有的r0恒成立，则M和欧氏空间微分同胚．在本文的第二部分将给出如何取函数(r)>0．若n(2)维完备开黎曼流形(

7、M，P)满足M(。rt)0．由定理1，若(p，r)<、／3r，则M和欧氏空间微分同胚．注记1Xia[坞J证明了若M(r)一1，且础(案)则M和欧氏空间微分同胚．若l厂()=e—tanht，t∈[0，∞)，则对所有的t0，有G((￡))三一1成立．当M满足KM(O-t)一1时，定理1给出了一个适当的条件，可以确保所有这类流形和欧氏空间微分同胚若．厂(t)=etanht，t∈【0，。C)，且M满足KM()G(￡))则KM(r)一1r0不成立．在这种情况下我们的定理仍然可以确保此类流形和欧氏空间微分同胚．在此意义下，我们的定理推广了