局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面

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1、第32卷第4期江西师范大学学报(自然科学版)V01．32No．42008年8月JOURNAL0FJL心GⅪNORM^LI黼RSrrY(NAr兀『RALSc匝NCE)Aug．2008文章编号：100啦5862(2008J04—0414．04局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面戴国元1，王清玲2，陈抚良1(1．江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌3300勉；2．江西蓝天学院公共数学部，江西南昌3300凹)摘要：该文研究局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面，得到了这类超曲面全脐的一个结果，推广了前人的结果．关键词：共形平坦；全脐；

2、超曲面中图分类号：o186．1文献标识码：A1引言和结论设胪是等距浸入在n+1维局部对称共形平坦黎曼流形胪“中的完备超曲面．S表示胪的第二基本形式模长平方，日表示胛的常平均曲率，疋和k分别表示胪“的Ricci曲率的上确界和下确界，K表示胪“的数量曲率．zhang在文[1]中证明了下面的定理．定理A设胪是单位球面s”P(1)中具常平均曲率的完备超曲面，则(i)S<2／；■]时，胪是全脐超曲面；(0)S：2v厂了]时，局部地，胛=s1(r)×酽一1(￡)，其中r2：1／(厂；i1+1)，t2：v厂了]／(厂i]+1)．本文推广文[1]中的结果，得到了定理1设胛

3、是n扣’1维局部对称共形平坦黎曼流形胪“中具常平均曲率的完备超曲面，Al，A2，⋯，A。是胛在茗点处的，1个主曲率，若胪“在妒上髫点处的截面曲率％+l讥+lf满足∑Al如+l讥+“=(2凡疋一K)日／(n一1)，则(i)S<2／a(4t。一2瓦一K／，1)／(n—1)时，胪是全脐超曲面；(ii)S：2／而(4￡。一2瓦一肜n)／(，l—1)时，局部地，胗：S1(r)×srI一1(I)，其中r2=l／(／jij+1)，t2：厂；j／(厂i]+1)．注l当胪+1=5”p(1)时，K+lh+lf=l，瓦=t。=凡，K=n(，l+1)．显然∑A墨+lIfrI+“=

4、(2n瓦一K)日／(n一1)，定理l成了定理A，因此，定理l推广了文[1]中的结果．选取胪+1的幺正局部标架场Pl’．一，％+l，且限制在胪上时，PJ’．一，％是胛的切向量，约定指标如下l≤A，B，c，⋯≤n+1，l≤i，．，，后，⋯≤几，n≤口，p，y，⋯≤n+1．令∞l，⋯，甜。l为Pl’．一，％+I的对偶标架场，由于』、『，l+1是共形平坦的，其黎曼曲率张量‰=击【文‰一溉+㈣川施一尝(文如一眺)】，收稿日期：2008．03．10基金项目：江西省教育厅基金(cJJ08162)资助项目．作者简介：戴国元(19r78-)，男。江西崇仁县人，理学硕士。讲师

5、，主要从事微分几何的研究第4期戴国元，等：局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面415％=∑为伽，K：∑‰．C^又胪+1是局部对称的，则心蚴的协变导数为零，即翰肋．E=0．当限制在胪上时，有叫¨=o，(￡’川，=∑^口％b=b，妣=一∑叫F^叶，叫F+％：o，嘞=一∑∞诸^嘶+告∑月∥I^㈨(1)R渊=晦+^访b一^d咄，(2)置毋=^匆+％+l匆，其中

6、IlF，尺洲分别是胛的第二基本形式及黎曼曲率张量的分量，且^诚定义如下∑^∥^=砒F一∑％cc，航一∑^删村．(3)胪的第二基本形式模长平方s=∑IIl；，平均曲率H={∑^如由[2]知△^妒

7、=帆m+l』一∑K+‰l庙F+棚∑^幽一％+∑(玩幽+Ⅲ“+2局渺雎)，选取幺正标架场Pl，．一，％，使得在胛上任意点茗处有^i=A岛，于是车菇处有∑b△^F=槲∑A焉m+lf—s∑％幽+lf+∑(Af一～)2翰一52+棚∑碍(4)引理1‘31设口l，口2，⋯，‰是，1个实数，满足∑口i：o，∑o{：t2，其中￡是非负数，则‘‘一万n一面2∥≤，÷n町，≤万n而一，广’．且等号成立当且仅当有忍一1个口。相等．引理2【4-51设胛是几维完备黎曼流形，其Ricci曲率有下界，F是胛上有上界的c2．函数，则Ve>0，存在点石∈胛，使得supF一￡

8、

9、dF(茗)II<￡，△，(茗)<￡．引理3[6]设A=(nF)是，l×，l对称矩阵，n≥2，记Al=TrAl，A2=∑(％)2，则∑(口讥)2一Al口肌≤[n(凡一1)A2+(，I一2)lAll√弋i_二■孬T乏五而一2(，I一1)A}]／，12．’2定理1的证明吾：s一槲z。(5)(6)一s军‰㈨t≥一点(2瓦一等)s，(7)善I'J(At一～)2砀≥尚。。(4c。一警’。)(s一棚2)．一·因为羊‘日一Ai)=o，苹‘日一Af)2=s一脬=i，由引理l有槲∑A{=3彬s一2厅2∥一柑；(厅一¨3≥3彬i+n2∥一，l1日I稿i压．(8)由(5)．(8)

10、，(4)变为∑％蛳≥胡[萃A恳m+“一堕笔产】+考[竺≮三章一考一