(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率.pdf

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1、微分几何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率一主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。二欧拉公式结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为，沿v-线的主曲率为,曲面上任意方向(d)=du:dv与曲线的夹角1222为,则沿（d）的法曲率n满足n12cossin.这个公式叫做欧拉公式。证明因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F=M=0,

2、所以对曲面上22LduNdv任意方向(d)=du:dv,与其对应的法曲率.沿u-线n22EduGdvL（v0）的法曲率为主曲率,沿v-线（u0）的法曲率为主曲1EN率.2GEduu因为(d)=du:dv与u-线的夹角是,所以cos,222EduGdvEu222Edu2Gdv所以cos22,sin22,所以EduGdvEduGdv2222LduNdvLEduNGdv22n22222212cossinEduGdvEEduGdvGEduGdv三主曲

3、率的性质命题6曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。36微分几何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率证明设(如果,可以交换坐标u和v）由欧拉公式知：12122222cossin()cos,于是()cos0,n1221222n12所以2n,同样可得n121()sin，所以1n,故12n,这就是说，曲率,分别是法曲率中的最大值和最小值。21n四主曲率的计算公式结论设(d)=du

4、:dv为曲面S:rruv(,)在P点处的主方向，沿主方向的主曲率为kN，则kN的计算公式是LEMFNN即2220()EGF(LG2)MFNE()LNM0。NNMFNGNN注：要求主曲率，只需求出两类基本量，然后由这个二次方程解出主曲率kN即可。证明由Rodrigues定理，kN为主曲率dndr，即LduMdvN()EduFdvndundv()rdurdvuvNuvMduNdv()FduGdvN()LNNEdu()M

5、Fdv0LEMFNN即有非零解du:dv0()MNNFdu()NGdv0MFNGNN222即()EGF(LG2)MFNE()LNM0NN五高斯曲率、平均曲率定义设12,为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12叫做曲面在这一点的高斯曲率，记为K,即K12;它们的平均数称1为曲面在这一点的平均曲率，记为H，即H()。122由主曲率的计算公式和韦达定理可知高斯曲率、平均曲率的计算LNM2LGM2FNE公式是：高斯曲率K，平均曲率H2。22(EG

6、F)EGF37微分几何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率注：由定义和前面的计算可知半径为R的球面的高斯曲率为111K=,平均曲率为H或。2RRR例求旋转曲面ru{()cos,()sin,()}uu，（()0u）的高斯曲率和平均曲率。，。()解…………高斯曲率：K，222()22()()平均曲率：H。32222()特别,若旋转曲面是xoz平面上的曲线xz()0绕z轴旋转而成,则r

7、u{()cos,()sin,}uu，这时zuu()，所以1,0，21高斯曲率：K，平均曲率：H。223(1)2(12)2六极小曲面定义一个曲面如果它每一点处的平均曲率都为零，则称该曲面为极小曲面。极小曲面的实际模型是：将在空间弯曲的铅丝侵入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面。由习题3可知，正螺面为极小直纹面；下面的例子说明，悬链面是极小旋转曲面。例求极小旋转曲面38微分几何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率212解在上例中

8、令H0得10，所以3222(1)1122，所以2ln(1)lnC11122aae1,2(1c1)1，c1，所以21，积分后ea212a2zzzaln(1)