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1、x2.5主曲率Gauss曲率和平均曲率根据法曲率的几何意义,法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向,因此,理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化.但实际上是做不到的,因为曲面在一点处有无穷多个切方向.于是我们自然提出这样两个问题:法曲率随方向变化的变化规律是什么?法曲率是否有最大值和最小值?下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是:由Euler公式给处了曲面上一点沿各个方向,法曲率的变化规律,而且法曲率有最大值和最小值,它们被称为主曲率,最后由主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.2.5.1主主主曲曲曲率率率和和和主主主方方方向向向对曲面S:r=r(
2、u;v)上一给定点P0(u0;v0),法曲率kn是切方向du:dv的函数,称法曲率的每个临界值(criticalvalue)为曲面在这一点的主曲率;对应的方向称为曲面在这一点的主方向.定理5.1曲面在非脐点处(证明中定义),有两个不相等的主曲率和两个不同的主方向.证明如果曲面S:r=r(u;v)在给定点P0(u0;v0)处,沿方向(du0;dv0)法曲率kn取得临界值k0,则¯¯@kn¯¯@kn¯¯¯=0;¯=0;@du@dv(du0;dv0)(du0;dv0)即¯¯IIIdu¡IIIdu¯¯IIIdv¡IIIdv¯¯I2¯=0;I2¯=0;(du0;dv0)(du0;dv0)两边乘以I得到
3、µ¶¯µ¶¯II¯II¯IIdu¡Idu¯¯=0;IIdv¡Idv¯¯=0;II(du0;dv0)(du0;dv0)但是,(II=I)j(du0;dv0)=knj(du0;dv0)=k0,因此(IIdu¡k0Idu)j(du0;dv0)=0;(IIdv¡k0Idv)j(du0;dv0)=0;(5:1)注意到Idu=2Edu+2Fdv;Idv=2Fdu+2Gdv;IIdu=2Ldu+2Mdv;IIdv=2Mdu+2Ndv;91将其代入(5.1)式得8<(k0E¡L)du0+(k0F¡M)dv0=0;:(k0F¡M)du0+(k0G¡N)dv0=0;由于以上各步均可逆,因此,我们证明了沿方向(d
4、u;dv)使法曲率kn取得临界值的充要条件是8<(knE¡L)du+(knF¡M)dv=0;(5:2):(knF¡M)du+(knG¡N)dv=0;从(5.2)消去du;dv,即得确定主曲率的方程¯¯¯¯¯knE¡LknF¡M¯¯¯=0;(5:3)¯knF¡MknG¡N¯消去kn,即得确定主方向的方程¯¯¯¯¯Edu+FdvFdu+Gdv¯¯¯=0;(5:4)¯Ldu+MdvMdu+Ndv¯方程(5.3)可以改写成(EG¡F2)k2¡(EN¡2FM+GL)k+(LN¡M2)=0;(5:5)nn其判别式为ed¢=(EN¡2FM+GL)2¡4(EG¡F2)(LN¡M2)2ed(5:6)2F24(
5、EG¡F)2=[(EN¡GL)¡(EM¡FL)]+(EM¡FL)¸0EE2故当EN¡GL=EM¡FL=0;(5:7)时,而且只有此时,判别式为零,但由于E6=0;G6=0,(5.7)式可以写成L:M:N=E:F:G;(5:8)满足(5.8)式的点称为脐点,否则称为非脐点.所以在一个非脐点,判别式¢>0,方程(5.5)总有两个不相等的实根,曲面在这一点总有两个不相等的主曲率.在脐点,92若令L=¸E;M=¸F;N=¸G,则任意方向的法曲率为主曲率¸,而方程(5.5)变为(kn¡¸)2=0,但这个关系无非表示主曲率和任意方向的法曲率相等.确定主方向的方程(5.4)也可以写成¯¯¯22¯¯dv¡d
6、udvdu¯¯¯¯¯EFG¯¯=0;(5:9)¯¯¯LMN¯或(EM¡FL)du2¡(GL¡EN)dudv+(FN¡GM)dv2=0;(5:10)不难验证它的判别式和(5.5)的判别式¢相等.所以在一个非脐点,方程(5.9)总有两个不相等的实根,曲面在这一点总有两个不相同的主方向.在脐点处,方程(5.9)变成恒等式,即任意方向都为主方向.[证毕]定理5.2曲面在非脐点处,两个主方向互相垂直.要证明这个定理,只要应用以下引理于方程(5.10).引理5.3曲面上一点由方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0所确定的两个切方向互相垂直的充要条件是ER¡2FQ+GP=0,这里E;F;G是曲面的第一类
7、基本量.证明两个方向du:dv和±u:±v正交的充要条件是Edu±u+F(du±v+dv±u)+Gdv±v=0;换一种写法即µ¶µ¶du±udu±uE+F++G=0:(5:11)dv±vdv±v将已知的二次方程写成µ¶2µ¶duduP+2Q+R=0;dvdv则它的两个根,记为du;±u,均应满足上述方程,由根与系数的关系知,dv±vdu±uRdu±u2Q=;+=¡:dv±vPdv±vP将上式代入(5.11)式
