34高斯曲率与平均曲率

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1、3.4高斯曲率与平均曲率内容：高斯曲率、平均曲率、高斯映射、第三基本形式、极小曲面、常高斯曲率曲面重点：高斯曲率与平均曲率的计算3.4高斯曲率与平均曲率-高斯曲率与平均曲率的概念曲面的两个主曲率之积K=k1k2叫曲面的高斯曲率，两个主曲率的平均值H=½(k1+k2)叫曲面的平均曲率．椭圆点即高斯曲率大于零的点，双曲点即高斯曲率小于零的点，抛物点即高斯曲率等于零的点．3.4高斯曲率与平均曲率-旋转常高斯曲率曲面设旋转曲面S:r=(ucosv,usinv,y(u))，这是一张由Oxz平面上的曲线z=y(x)绕z轴旋转而成的曲面．

2、试求y使得S的高斯曲率K为常数．详情z=y(x)zxy练习题1．计算球面r(u,v)=(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的高斯曲率和平均曲率．2．计算曲面r(u,v)=(acoshucosv,acoshusinv,bu)的高斯曲率和平均曲率，并证明当a=b时平均曲率为零．3．计算正螺面r(u,v)=(aucosv,ausinv,bv)的高斯曲率和平均曲率．3.4高斯曲率与平均曲率-高斯映射设曲面S的参数表示为r=r(u,v),(u,v)∈G，它的单位法向量为n(u,v)．则曲面S的高斯映射g:S→S2是把

3、曲面S上的点r(u,v)对应到单位球面S2上的点n(u,v)的映射．SS2n(u,v)n(u,v)g3.4高斯曲率与平均曲率-高斯映射高斯映射的参数表示为g0=g0(u,v)，其中g0(u,v)=g(r(u,v))=n(u,v).我们也把g0叫曲面S的高斯映射或球面表示．SS2n(u,v)n(u,v)grg0(u,v)3.4高斯曲率与平均曲率-高斯映射因为g0是从G到R3的一个映射，因此是一张参数曲面，但不一定是正则的．3.4高斯曲率与平均曲率-第三基本形式曲面的第三基本形式定义为III=dn⋅dn．将第三基本形式写成III

4、=edu2+2fdudv+gdv2，则有e=nu⋅nu，f=nu⋅nv，g=nv⋅nv．定理.设有曲面S:r=r(u,v)，其平均曲率为H，高斯曲率为K，则有III–2HII+KI=0.看证明3.4高斯曲率与平均曲率-极小曲面平均曲率为零的曲面叫极小曲面．旋转极小曲面是平面或者是悬链面（见下图）．看证明3.4高斯曲率与平均曲率-悬链面例.悬链面（如下图）是旋转极小曲面．例.正螺面（如下图）r=(aucosv,ausinv,bv)是极小曲面，但不是旋转面．3.4高斯曲率与平均曲率-正螺面3.4高斯曲率与平均曲率-正螺面与悬链面

5、等距下面的动画演示了从正螺面等距变成悬链面的过程：正螺面悬链面练习题1．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．2．求旋转曲面z=f(r)的高斯曲率与平均曲率，这里r=(x2+y2)1/2．返回章首