微分几何 2.7 常高斯曲率的曲面.ppt

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1、第七节常高斯曲率的曲面7.1常高斯曲率的曲面设曲面S：r=r(u,v)的高斯曲率为常数，在曲面上任取点P和过P点的任意测地线(C),把(C)作为坐标曲线u=0,即v线中的一条，且从P点起的弧长为v，取与（C）正交的测地线簇为u线，取这簇测地线的正交轨线（包含（C））为v线，则得到一半测地坐标网，因此曲面的第一基本形式可写为由假设v为曲线的弧长，所以由第五节习题知，对于半测地坐标网，根据初始条件这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况：以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程的通解为这里A(v),B(v)都

2、是v的函数，由初始条件可得A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为例：球心在原点，半径为R的球面。（2）K=0，则微方程的通解为，由初始条件得因此与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。（3）K<0，则微分方程的解为由初始条件得下一节讨论这种情形。A(v)=1，,B(v)=07.2伪球面（负高斯曲率的曲面）1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z轴之间的线段始终保持定长a，此曲线称为曳物线，z轴称为它的渐近线。2、曳物线的方程设它的参数表示为x=x(t),z=z(t),曲线上一点P(x,z)的切线的的方向为，故切线上一点的坐标是如果这点在

3、oz轴上，则横坐标为0，即求得曲线在P点的切线与z轴的交点的坐标为由两点间距离公式得令x=asint并两边积分得曳物线方程为：3、伪球面将ozx平面上的曳物线绕oz由旋转一周所得的旋转面叫伪球面，它的参数表示为计算知因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高斯曲率为所以伪球面为负高斯曲率的曲面。这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0时，曲面与球面等距，K=0时与平面等距，K<0时与伪球面等距。4、命题：若通过伪球面的第一基本形式把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于园心在x轴上的园。要证明这个命题，先作保角变换：与平面第一基

4、本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：现在代入测地线方程有K=1时，K=2时，所以测地线方程为由第一式由第二式积分之除以得积分整理得这是xoy平面上园心在x轴上的园的方程，命题得到证明。下面考虑xoy平面上在x轴上方的半平面，我们称之为罗氏平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在x轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平面上任两点P1到P2正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。7、3罗氏几何1、罗氏平面上的距离设是罗氏平面上的两点，通过保

5、角变换，它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把这两对应点之间的测地线的弧长定义为P1到P2的罗氏距离。由得积分沿着P1和P2对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行，注意到测地线的方程为作坐标变换设罗氏直线P1P2与x轴的交点为P0和P∞，由于这四点在一园周上，我们定义它们的非调和比，在园上取一点S，因此罗氏距离公式为定义当或时，交比，所以可以认为x轴上的点或是罗氏直线上的“无穷远点”，也就是说，x轴是罗氏平面上的“无穷远线”。2、罗氏平面上的平行线罗氏平面上的直线l就是园心在x轴上的上半园，它交x轴于P0和P∞两点。设P是罗氏平面上在直线l

6、外的任一点，则过P和P0有一条罗氏直线l0，过P和P∞有一条罗氏直线l∞，直线l与直线l0交于“无穷远点”P0，因此可以认为直线l与直线l0是平行的，同理直线l,l∞也是平行的。见图因此在罗氏平面上，过直线l外一点P可以作两条直线l0和l∞平行于于直线l，因而在罗氏平面上欧氏几何的平行公理不成立。3、罗氏平面上的运动把定义了笛卡尔直角坐标(x,y)的平面看成复平面，平面上的点(x,y)对应一个复数z=x+iy，罗氏平面对应于y≥0的上半复平面，在复平面上作线性变换其中p,q,r,s是实数，且，由复函知，这是复平面上的保角变换，它使上半复平面变为上半复平面。

7、现在证明这个变换就是罗氏平面上的等距变换。即有由线性变换得所以即第二章总结