曲面微分几何1

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1、c、3(1)聒至彳豸何、一llI警辫期_；囊：lI_llll__ll萋0理事卿ll_ll_垂誊童稀曩：等距曲线和等距曲面0＼gG．华宣积’等距曲线(或平行曲线)的应用比较广泛．很7x多生产实际课题可以归结为求某一条曲线的等距曲线问题，如：凸轮设计与制造数控线切割加其中x。和y’分别表示x和y对t的导数。这时cl的工和机器人路径等。关于等距曲线和等距曲面，参数方程如下t一般的徽壁．何书藉里只作为习题出现，也有f州毒一些书藉作过较为萍细的叙述。近几年来，在1【(1．2)CAD和CAGD杂志上．出现了不少专门论述它们ym亏÷性质的支章、。在本支中，我们综台了上

2、述参考而且外等距曲线C的方程为：文献的有关结果，并用适台于计算机应用的方式rx．--x(uta—；=一介绍等距曲线和等距曲面的一些内容，使之能被J—x。+Y。Ic1．3)用到更多的方面。有关奇点的理论性较强的内容ly．=y(t)．4—：：．_,／x。“Y。这里不作介绍。1等距曲线的定义和方程图1表示了C的两条等距曲线C．的方程是定义：设平面曲线C上的每一点P冶若C在这(L2)，C1的方程是(1．3)。点的法线的止(负)方向移动一段距离a，所得到的点的轨迹C．(C1)称为C的内(外)等距曲线。如果已知曲线C的方程r=t(s)其中s是C的弧长参数，则内等距曲

3、线C。的方程是rt-r(s)+^Nc日)c1．1)这里N(s)是C的单位法线向量，由切线向量T转例：求双弧外摆线C到N的方向是逆时针的。rx(口)rC抽口+eC∞3a，如果已知C的参数方程iy(口)-3ra¨&嵋a口∈[o．亏rx=xct)的外等距曲线。Ly=y(U按照(1．3)式，当r、e和距离a已知时，可按这里的t是—般的参数，则下列公式计算C。·复旦L^学擞学幕‘200433上海对给定的a∈[0，号】，计算潮旺鞠誊巍峨囊：誊-。．rx=3rCos口+eCos3o[dLy=S口+eSh13drx=一E-蛆口一eSh13Ⅱ所以ty=3rCosa+eCo

4、s3口=(1_7)n：相对曲率半径(如果可以求的话)x+Y’po(s)-p(s)一al-8)2隐函数方程rx-．=x—aⅡ只要曲线C的方程是参数形式的。无论是多Ly—an项式型的还是三角函数型的，都可用(1-2)求出它如果允许a是负值。则(1．2)和(1．3)可合并成的等距曲线。目前在CAGD中常用的Bez．ier~线一个式子，这将带来许多方便。无论是讨论等距和B样条曲线的等距曲线也一样处理，最后得到曲线的性质，还是编制计算机程序，我们都可采的等距曲线方程也是参数形式的。用统一的形式(1-1)。如果曲线C的方程是容易征明N也是c．在PI处的法线。将(1‘

5、1)式F(x，=0盘．D对s求导，得到求它的等距曲线有类似的方法，如将(2．1)参数r(s)rsHaN‘f9)化，则问题可用(1_2)解决。如(2．1)式碓以参数应用平面曲线的Frenet~，得化，则可用数值方法配合(1_2)进行，计算公式如--T—ak(s)T=-Cl-ak(s)】Ts】1．4】下。显然对定义域范围内的X，从(2．1)式解出y}N·r=0f1南这说明C与Ct的对应点P与PI的连线是它们的公R(2-2】法线，从而C也是Ct的等距曲线。等距曲线的概~，F：+F；念是相互的。其中为求C。的相对曲率k。，设它的弧长参数是==筹S。．应用公式-。

6、yt)就是C或C上的点。T。=kN(1．5)从(1．2)或(2．2)消去参数，就可得到等距曲线的和隐函数方程，但消参数并非易事，文献(5)对x(t)dT．和y(t)都是t的多项式的情形，给出了一种求隐函d3。Nt(1‘6)-。‘⋯‘数方程的方法。这里T·=T，M-IN，可得到这方法基于下列事实：以曲线C的各点为中心作半径为a的圆～这族圆的包络线就是C的等距导=鼍曲线。再由(1_4)式有上述圆族的方程是FX，Y．t)=【x．x(t)】(Y-yct)]—=0(2．3】鼍一r一鼍=ccs，IT它的包络线必须满足(2．3)和2j鳓譬辫搠曩i-l毽弛研究曼囊0暑霸

7、斡确≥Ft=2x‘ft){X-x(t)H砷‘(t1(Y_yft))=02．4)r~=r(tintv)-m-aN(u．v)f3-1)如果能从(2．3)和(2．4)两式清去t得到方程这里．N(u．v)是S的单位法线向量H(X．Y)=0《2．5)N：(3．2)’它就是c．的方程如X。(t)和y。(t)的最大公因式是d(t)，即rn和r-分别表示噬于u和v的偏导向量。xn)(t)xln)Y‘)-d(t)y1(”如将r(u，v)写成坐标形式则(2．4)可变成：rfulv)tF。l)(X·x(t)】+yIn)IY-y(t)】=0(2．4。)l(u．v)，C的方程可写

8、成：则，F0f2t会+昙．丢．8)LF1=0其中把它们看成是t的多项式，将X，Y