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《高斯曲率的意义与作用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高斯曲率的意义与作用1引言在曲面论中,应用较多的是高斯曲率．高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元．正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质．同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点．2预备知识2.1主曲率2.1.1 主曲率的定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率.由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率．2.1.2 主曲率的计算公式主曲率
2、满足即2.1.3有关主曲率的一个命题曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值.2.2高斯映射（球面表示）设是曲面S：上一块不大的区域，另外再做一个单位球面．现在建立中的点和单位球面的点的对应关系如下：中任取一点，作曲面在点处的单位法向量，然后把的始端平移到单位球的中心，则的另一端点就在单位球面上，设该点为，这样对于曲面的小区域中的每一点，与球面上向径为的点对应．因此，曲面上所给出的小区域表示到单位球面的对应区域上．也就是说，建立了曲面的小区域到单位球面上区域的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种
3、对应称为曲面的球面表示，也称高斯映射．2.3高斯定理定理曲面的高斯曲率是曲面在保长变换下的不变量．高斯定理说明,曲面本身蕴含着一定的弯曲性质,这是曲线所不具有的特点．例如球面一定不会保持长度不变而摊成一块平面,反过来平面无论如何不可能保持长度不变而弯成一个球面,因为球面和平面的高斯曲率是不同的．3高斯曲率的定义曲面S：的主曲率，是曲面的切平面变换的两个特征值，分别是法曲率的最大值与最小值，也即曲面主方向对应的法曲率．设，为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积称为曲面在这一点的高斯曲率，通常以表示．由预备知识可知，利用一元二次方程的根
4、与系数的关系便得高斯曲率==,对于曲面的特殊参数表示，由于，，，，，，，因此得．4高斯曲率的几何意义曲面的小区域在球面表示（高斯映射）下对应到球面的区域．如果当曲面在这块上弯曲的程度越大时，它的对应球面的区域也就越大．因而的弯曲程度可以用的面积对于本身的面积的比值来刻画．曲面在已知点处的弯曲程度自然就用这个比值当收缩成点的极限来衡量．命题曲面在点邻近的区域在单位球面上表示是，当区域曲面上已知点时，的面积与区域的面积之比趋于曲面在点的高斯曲率的绝对值．即下面给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义．由于=（）其中是曲面的法向量，是球面
5、的法向量．>表示这两法向量指向一致，因此从到的旋转方向和到的旋转方向相同．<表示这两法向量的方向相反，从而到的旋转方向和从到的旋转方向相反．5高斯曲率的作用5.1曲面的高斯曲率确定了曲面在一点邻近的结构曲面在一点邻近的结构与其在该点的高斯曲率有关，该点与附近点的高斯曲率的比较，可以反映该点附近的形状变化．注意到曲面的高斯曲率与同号的,而，总是正的．因此的符号决定曲面在所考虑点的邻近结构．分三种情形加以讨论：1)时，即时，给定点为椭圆点．这时主曲率与同号，不妨设，，那么对应于主方向的一条法截线朝法向量的正侧弯曲．由欧拉公所有法截线的曲
6、率都时正的．因此，所有法截线都朝向量的正侧弯曲，所以曲面沿所有都朝同一侧弯曲．当，都是负的时候，所有的法截线都朝的负侧弯曲．总之，曲面在点的邻近在切平面的同一侧，故当时，曲面在椭圆点的邻近的形状近似于椭圆抛物面．2）当时，即时，给定点为双曲点．这时的主曲率与异号，不妨假设，，那么对应的两条法截线中有一条朝的负侧弯曲，另一条朝的正侧弯曲．由欧拉公式得到各个方向的法曲率的变化情况．当时，时，当，，从而当从变到时，的符号改变两次零值．此时曲面在点的邻近的形状近似于双面抛物面．3）当时，即时，该点为抛物点．因此，至少有一个主曲率等于零，不妨
7、设，那么对应于第一主方向的法截线朝的正侧弯曲，另一条法截线一般以为拐点．因此一般第二条法截线从它的切线的一侧朝另一侧弯曲，曲面在点的邻近的形状近似于抛物柱面．例设环面的方程是，其中是常数，且．考察环面上各种类型点的分布．解直接计算得，，，，,，因此．由此可见，的符号由的符号而定．当=时,=,这些点是抛物点分布在环面最上面和最下面的两个平行圆上．当时,<,这些点是双曲点,分布在环面的内侧．当,或时,>,这些点是椭圆点,分布在环面的外侧．很显然,曲面上的椭圆点集和双曲点集都是开集,它们的边界点必是抛物点．5.2运用曲面的常高斯曲率确定曲
8、面的第一基本形式假定曲面S的高斯曲率是常数．在曲面上取测地平行坐标系．因而它的第一基本形式为，满足条件：根据高斯曲率的内蕴表达式，有所以作为u的函数，满足二阶常系数齐次方程初始条件是：根据K的不同符号，方程（1）在初始条件（2）的解分
