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1、第二章曲面论高斯曲率的计算公式高斯定理。注意，，。所以，17利用行列式的性质和矩阵乘法，得，由于，，，所以，于是得到17对于曲面上的正交坐标网来说，，此时，。于是，曲面的高斯曲率K17被其第一基本形式完全确定，所以高斯曲率也是曲面的内蕴量，公式被称为高斯定理，且被誉为著名的高斯定理。据说，高斯当年发现并证明出来后，非常兴奋，欣喜若狂。半测地坐标网下，高斯曲率的计算公式在类曲面：上选一条测地线为--曲线：；再取与正交的测地线族为--曲线，另取这测地线族的正交轨线为--曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式可以简化为，17其中满足条件。在曲面上选取了半测
2、地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式。常高斯曲率的曲面现在设曲面的高斯曲率是常数，即常数，则得微分方程。根据初始条件：，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。（1）正常数高斯曲率的曲面，，17此时。根据初始条件，可得，于是，。实例：考虑球心在原点，半径为的球面。取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。设球面上点的经度为，纬度为，则球面的参数表示是。，17，。在球面上重新选择参数，命于是，高斯曲率，因此得到，所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。正常数17高斯曲率的曲面与
3、同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。（2），从而有，因此，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。（3）负常数高斯曲率的曲面，，此时。根据初始条件，可得，于是，。由此可知,具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数,使曲面具有相同的第一基本形式,因此可建立等距对应.由上述定理知道,具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为17常曲率曲面)可按K>0;K=0;K<0分成三种类型.而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的.平面作为高斯曲率为零的代表;球面作为高斯曲率为正常数的代表.换句话说,高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应,高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应.
4、那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表?设,我们可以在旋转曲面中找出这个代表.设旋转曲面的待定母线为平面中的曲线.把它绕z轴旋转后形成了旋转面，；代入旋转曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率为17为了使这个曲面的高斯曲率所以待定函数就必须满足下列方程:，将其改写成，两边积分后得到取积分常数,于是可解出，由此得出，，令，则17，于是。因此，以母线绕z-轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数。我们把母线(4.4)称为曳物线.而把曳物线绕z-轴旋转后所得的曲面称为伪球面.由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定.因此,若两个曲面可建立等距对应,则对应点的高
5、斯曲率必相等.但反之则不然.17【例１】证明:曲面，（正螺面），(旋转曲面)在点与处的高斯曲率相等,但曲面S与不存在等距对应.【证明】容易算出正螺面与旋转曲面的第一基本形式分别为，再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)经过计算得出曲面S和的高斯曲率分别为17，。因此取对应点，便成立。但是曲面S与不存在等距对应.我们用反证法.若曲面S与之间存在等距对应,它的对应关系为则对应点的高斯曲率必相等,所以得出，即，或；(1)若则或。因此对应关系为这时的第一基本形式17，因为是等距对应,故，比较得出由其中第二式得出或,再由第一式或第三式得出或，这显然不可能成立.因此这种情况不可能.(1
6、)若，则。这显然不可能成立.因此曲面S与之间不能存在等距对应.17尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应,但是对高斯曲率为常数的曲面,若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的.定理4.1(Minding定理)具有相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等距对应.证明设曲面S的高斯曲率K是常数,。在S上取任意点P和过P点的任意测地线,把作为--曲线；且从P点起的弧长为v.再取与正交的测地线族为--曲线，另取这测地线族的正交轨线为--曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，（注意,这时17的曲线也是测地线）。因此曲面的第一基本形式可以简化为，根据假设v是的弧长,
7、所以，于是(4:1)又因是测地线,根据Liouville公式知即成立(4:2)另一方面,将E=1代入高斯方程,得，17或，其中满足条件。这个微分方程的通解可按高斯曲率K的符号分为三种情形:17
