实对称阵对角化(课后微改)

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1、几何与代数主讲:王小六东南大学线性代数课程上机时间地点通知12.19(本周六)下午2:00到3:30五楼一到四号机房题目本周四上传至课程中心答疑通知从本周开始每周五上午一至四节课地点：教八400，位于教八四楼西侧楼梯口注：每周二下午3-4节教八400的公共答疑照常进行.复习建议静下心，默想一下课程的内容。对于不熟悉的，尽快熟悉.(本周)做往年试题。(14,15周做填空和计算，16周做证明题)时间允许的话,争取把课本的习题看一遍.考试前查漏补缺，针对弱项临时突击.第5章特征值与特征向量第2节相似矩阵回顾§5.2相似矩阵§5.2相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都

2、是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得B=P1AP,则称矩阵A相似于B.记为A~B.P称为相似变换矩阵.若A和B都相似于同一个对角阵第5章特征值与特征向量A~B定理5.2.设n阶方阵A与B相似,则A与B有相同的特征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.)§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量注:特征多项式相同的矩阵未必相似.例如A=1011,B=1001,特征多项式都是(1)2.但是A和B不相似。上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的.二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似的

3、充要条件是A有n个线性无关的特征向量.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量判断相似的第一个充要条件，但是不方便使用.定理5.4.假设η1,η2,,ηs是n阶方阵A的属于不同特征值1,2,,s的特征向量,则η1,η2,,ηs线性无关.推论5.4.若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A与对角矩阵相似.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量判断相似的第二个充分条件定理5.5.假设值1,2,,s是n阶方阵A的互不相同的特征值,ηi1,ηi2,,ηi是A相应于特征值i的线性无关的特征向量,则向量组η11,η12,,η1,η21,η22,,η2,

4、,ηs1,ηs2,,ηs线性无关.titst2t1对应1对应2对应s§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的每个k重特征值0有k个线性无关的特征向量,即nr(A-0E)=k.特征值0的重数k称为0的代数重数,其对应的线性无关特征向量的最大个数称之为0的几何重数.定理5.6’.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于几何重数.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量判断相似的第三个充要条件提醒：如果一个n阶方阵相似于对角阵，则它一定有n个线性无关的特征向量，它们构成了Rn的一

5、组基.三.方阵的相似对角化步骤如下：§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量求

6、E–A

7、=0的根有重根吗?无A可以相似对角化有n-r(iEA)=i的重数?否Jordan化A不能相似对角化是求n个线性无关的特征向量p1,…,pn,令P=[p1,…,pn]P–1AP=diag[1,…,n]§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量例2.A=100243分析：A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，并求对角矩阵及相应的相似变换矩阵.4-34.求A100.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量=P1APA=PP1A100=P100P1例3.A=-1230

8、22问：x,y取何值时A与B相似？0x1,B=00000y030§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量分析：A与B相似tr(A)=tr(B),

9、A

10、=

11、B

12、x,y的取值验证A与B确实相似例4.假设2是矩阵A=1x-31y5-14-3的二重特征值,若A相似于对角矩阵，求x,y及可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量分析：A相似于对角矩阵2是二重特征值r(A-2E)=3-1=2求x,y特征值之和等于迹另一个特征值例5.A=320010的特征多项式为001特征值=3,i中有两个是虚数,

13、E–A

14、=–3200101=

15、(–3)(2+1),所以A不与实对角矩阵相似.在复数范围内,A~30000i0i0.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量(3E–A)x=的基础解系:p1=[5,3,1]T,(iE–A)x=的基础解系:p2=[0,i,1]T,(–iE–A)x=的基础解系:p3=[0,i,1]T,令P=5310i10i1,则P–1AP=30000i0i0.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量第5章特征值与特征向量第3节实对称矩阵的相似对角化第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化§5.3实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的性质1