资源描述：
《2-5函数的微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分的形式不变性三、微分的应用机动目录上页下页返回结束一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.2x(Δx)设边长由x变到x+Δx,0Δx002x0ΔxΔxQ正方形面积A=x,022∴ΔA=(x+Δx)−x002xA=x00xΔx02=2x⋅Δx+(Δx).0)1()2(:)1(Δx的线性函数,且为ΔA的主要部分;:)2(Δx的高阶无穷小,当Δx很小时可忽略.机动目录上页下页返回结束3再例如,设函数y=x在点x处的改变量0为Δx时,求函
2、数的改变量Δy.33Δy=(x+Δx)−x00223=3x⋅Δx+3x⋅(Δx)+(Δx).00)1()2(当Δx很小时,)2(是Δx的高阶无穷小o(Δx,)2∴Δy≈3x0⋅Δx.既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?机动目录上页下页返回结束二、微分的定义定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x及x+Δx在这区间内,如果00Δy=f(x+Δx)−f(x)=A⋅Δx+o(Δx)00成立(其中A是与Δx无关的常数,)则称函数y=f(x)
3、在点x可微,并且称A⋅Δx为函数0y=f(x)在点x相应于自变量增量Δx的微分,0记作dy或df(x,)即dy=A⋅Δx.x=x00x=x0微分dy叫做函数增量Δy的线性主部.(微分的实质)机动目录上页下页返回结束由定义知:)1(dy是自变量的改变量Δx的线性函数;)2(Δy−dy=o(Δx)是比Δx高阶无穷小;)3(当A≠0时,dy与Δy是等价无穷小;Δyo(Δx)Q=1+→1(Δx→0).dyA⋅Δx)4(A是与Δx无关的常数,但与f(x)和x有关;0)5(当Δx很小时,Δy≈dy(线性主部.)机动目
4、录上页下页返回结束三、可微的条件定理函数f(x)在点x可微的充要条件是0函数f(x)在点x处可导,且A=f′(x.)00证(1)必要性Qf(x)在点x0可微,Δyo(Δx)∴Δy=A⋅Δx+o(Δx,)∴=A+,ΔxΔxΔyo(Δx)则lim=A+lim=A.Δx→0ΔxΔx→0Δx即函数f(x)在点x可导,且A=f′(x.)00机动目录上页下页返回结束(2)充分性Q函数f(x)在点x可导,0ΔyΔy∴lim=f′(x0,)即=f′(x)+α,Δx→0ΔxΔx0从而Δy=f′(x)⋅Δx+α⋅(Δx,)0
5、α(Δx)Qα→0(Δx→,)0∴=α→0(Δx→,)0Δx∴Δy=f′(x)⋅Δx+o(Δx,)0Q函数f(x)在点x可微,且f′(x)=A.00∴可导⇔可微.A=f′(x.)0机动目录上页下页返回结束如果函数f(x)在区间I内每一点都可微，就称f(x)是I内的可微函数，f(x)在I内的微分就称为函数的微分，记为dy，即dy=f′(x)Δx通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx=Δx.dy∴dy=f′(x)dx.=f′(x).dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数
6、.导数也叫“微商”.机动目录上页下页返回结束四、微分的几何意义微分是函数的局部线性化微分是函数的局部线性化Δyf′(x0)=lim=tanαf(x)Δx→0Δx.yNdy=f′(x0)Δxo(Δx)=tanαΔxΔy在图上是哪条线段？Δy=dy+o(Δx)dy当Δx很小时Mαf(x)0Δx.Δy≈dy.用切线增量近似曲线增量oxx0+Δx即：0xf(x)=f(x+Δx)≈f(x)+f′(x)⋅Δx000问题：何时dy>Δy?微分的几何意义微分是函数的局部线性化哪条线段是哪条线段是dy？？o(Δx)ydy>
7、ΔydyΔy=dy+o(Δx)Δy当Δx很小时αf(x)0Δy≈dyΔx用切线增量近似曲线增量ox0x0+Δxx.五、微分的求法dy=f′(x)dx求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式μμ−1d(C)=0d(x)=μxdxd(sinx)=cosxdxd(cosx)=−sinxdx22d(tanx)=secxdxd(cotx)=−cscxdxd(secx)=secxtanxdxd(cscx)=−cscxcotxdx机动目录上页下页返回结束xxxxd(a)=alnadxd(e)=
8、edx11d(logx)=dxd(lnx)=dxaxlnax11d(arcsinx)=dxd(arccosx)=−dx221−x1−x11d(arctanx)=dxd(arccotx)=−dx221+x1+x2.函数和、差、积、商的微分法则d(u±v)=du±dvd(Cu)=Cduuvdu−udvd(uv)=vdu+udvd()=2vv机动目录上页下页返回结束2x例1设y=ln(x+e,)求dy.2x1+2xe解Qy′=,2x
