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1、第五节函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第二章7/29/20211恩格斯在《自然辩证法》中，对微分作了一个形象的解释：硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足道的。7/29/20212边长
2、由一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到其7/29/20213的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即在点可微,注1：注2：7/29/20214定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即7/29/20215定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可
3、导,则7/29/20216注1：函数的变化率问题函数的增量问题微分:导数:注3：导数与微分的区别7/29/20217注4：时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当7/29/20218微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记7/29/20219例如,基本初等函数的微分公式(见P115表)又如,7/29/202110二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数7/29/202111例1.求解:例2.
4、设求解:利用一阶微分形式不变性,有7/29/202112例2.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.例如7/29/202113三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:7/29/202114特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得7/29/202115的近似值.解:设取则例4.求7/29/202116的近似值.解:例5.计算7/29/202117例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜
5、体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,7/29/202118四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限7/29/202119误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,7/29/202120例7.设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A的绝对误差限约为A的相对误
6、差限约为试估计面积的误差.计算(mm)7/29/202121内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差7/29/202122思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.7/29/2021232.5.设由方程确定,解:方程两边求微分,当时由上式得求得7/29/2021246.设且则作业P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);127/29/202125基本初等函数的
7、微分公式先计算函数的导数,再乘以自变量的微分.7/29/202126解法2另例解法1另例解7/29/202127另例解法1解法27/29/202128
