隐函数和参数方程求导-经济数学-赵树嫄

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1、第四节隐函数求导与参数方程求导一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率第二章7/23/20211显函数:因变量是由其自变量的某个算式来表示.比如：一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导?问题1:隐函数是否可导?例如,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.7/23/20212隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)解7/23/20213例2.解7/23/20214例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即7/23/20215对数求导法1.方法:2.适用范围:先在两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出y的导

2、数.适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.例如幂指函数：两端对x求导：7/23/20216例3.解等式两边取对数得也可这样求:7/23/20217例4.解等式两边取对数得7/23/20218另例两边取对数两边对x求导7/23/20219二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,7/23/202110若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得7/23/202111?例4.设,且求已知解:练习:P111题8(1)解:注意:7/23/202112例5.抛射体运动轨迹的参数方程为求

3、抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设为切线倾角,则7/23/202113抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向7/23/202114例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故7/23/202115另例.解所求切线方程为另例.解7/23/202116三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率7/23/202117例7.一气

4、球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则两边对t求导已知h=500m时,7/23/202118思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以100m／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求7/23/202119试求当容器内水例8.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的两边对t求导而故体积为V,则7/23/202120内容小结1.隐函数求导法

5、则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式7/23/202121思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为7/23/2021222.设求提示:分别用对数微分法求答案:7/23/2021233.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①作业P1101(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(

6、2);8(2),(4);9(2);10;127/23/202124