隐函数参数方程求导

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1、隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率第五节1一、隐函数的导数定义:隐函数的显化例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.2问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.两边对x求导(含导数的方程)3例1.解：解得4例2.解：所求切线方程为显然通过原点.5例3.解：6二、对数求导法观察函数方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围：7例4.解：等式两边取对数得8例5.解：等式两

2、边取对数得9一般地（对数求导法）10三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?11由复合函数及反函数的求导法则得12若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得13例6.解：所求切线方程为14例7.解1516设由方程确定函数求方程组两边对t求导,得故例8.解：17例9.解：18解：得练习：19若曲线由极坐标方程给出,利用可化为极角参数方程,因此曲线切线的斜率为20例10.解：将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为

3、故法线方程为即参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.21四、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率22例11.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则两边对t求导已知h=500m时,23思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以100m

4、／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求24试求当容器内水例12.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的两边对t求导而故体积为V,则25水面例13.解：桥面20mxy(1)在此人的正下方有一条小船以的速度在与桥垂直的方向航行,求经5s后,人与小船相分离的速度.对t求导(2)(3)26内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些

5、用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式27思考题不对．28求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导2.设293.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①30