高阶导数与隐函数求导参数方程求导

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1、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导重点：求导法则、高阶导数的定义难点：高阶导数的具体求法关键：高阶导数的求导顺序7/21/20211泰山医学院信息工程学院刘照军第三节高阶导数1.如果的导数存在，称为的二阶导数记作：，或2.仍是x的函数，还可以进一步考虑有三阶导数或，四阶导数或，……n阶导数或.一、基本概念7/21/20212泰山医学院信息工程学院刘照军3.f(x)在x处有n阶导数，那么在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数4.问题：如何求函数的高阶导数？一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运

2、算法则高阶导数应用举例解例1y=ax+b,求例2求解7/21/20213泰山医学院信息工程学院刘照军例3证明:函数满足关系式证将求导,得2、应用7/21/20214泰山医学院信息工程学院刘照军于是下面介绍几个初等函数的n阶导数例4求指数函数的n阶导数解一般地,可得即例5求正弦与余弦函数的n阶导数7/21/20215泰山医学院信息工程学院刘照军解一般地,可得即7/21/20216泰山医学院信息工程学院刘照军用类似方法,可得例6求对数函数ln(1+x)的n阶导数解一般地,可得即通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立.7/21/2

3、0217泰山医学院信息工程学院刘照军例7求幂级数的n阶导数公式解那么一般地,可得即7/21/20218泰山医学院信息工程学院刘照军高阶导数运算法则(3)称为莱布尼兹公式7/21/20219泰山医学院信息工程学院刘照军例8解代入莱布尼茨公式,得7/21/202110泰山医学院信息工程学院刘照军第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率重点：隐含数、参数方程求导方法难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的求法。7/21/202111泰山医学院信息工程学院刘照军第四节隐函数及由参数方程

4、所确定一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率的函数的导数相关变化率四、小节五、作业7/21/202112泰山医学院信息工程学院刘照军一、隐函数的导数1复习:函数的表示法1.直接表示:解析式y=f(x)x∈D,这样描述的函数称为显函数2间接表示(1)由一个方程F(x,y)=0所确定的函数例可确定函数,(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:t是参数方法(1)表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.7/21/202113泰山医学院信息工程学院刘照军2隐函数的定义一般地,如果变量x和

5、y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数例1求由方程所确定的隐函数的导数解我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x),方程左边对x求导得方程右边对x求导得所以7/21/202114泰山医学院信息工程学院刘照军从而注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数例2求由方程所确定的隐函数x=0处的导数因为当x=0时,从原方程得y=0,所以解把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等,由此得所以

6、7/21/202115泰山医学院信息工程学院刘照军例3求椭圆在点处的切线方程(图2-6)解由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为椭圆方程的两边分别对x求导,有从而当x=2时,代入上式得于是所求的切线方程为即7/21/202116泰山医学院信息工程学院刘照军例4求由方程所确定的隐函数的二阶导数解应用隐函数的求导方法,得于是上式两边再对x求导,得上式右端分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数7/21/202117泰山医学院信息工程学院刘照军3.对数求导法***方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.-------

7、-对数求导法适用范围:下面通过例子来说明这种方法例5解等式两边取对数得7/21/202118泰山医学院信息工程学院刘照军一般地7/21/202119泰山医学院信息工程学院刘照军幂指函数也可表示成这样,便可直接求得7/21/202120泰山医学院信息工程学院刘照军例6求的导数解用下面方法，使计算简单两边取对数(假定x>4),得两边对x求导于是7/21/202121泰山医学院信息工程学院刘照军当2

8、泰山医学院信息工程学院刘照军二、由参数方程所确定的函数的导数求导方法7/21/202124泰山医学院信息工程学院刘照军由复合函数及反函数的求导法则得7/21/202125泰山医学院信息工程学院刘照军7/21/202126泰山医学院信息