隐函数、参数方程表示的函数求导

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1、应用高等数学（06级融资理财1班）主讲：彭如海教授岭南学院江苏科技大学第9讲隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、授课时间：2007－4－17－3、4节二、教学目的要求：在复习巩固上节显函数导数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与参数方程确定的函数的求导方法。三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的求导；教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。五、教学手段：多媒体＋适当板书。继续【2－2】课堂练习课堂练习：习题2－2）2（14）复习：导数公式与求导法则1、基本导数公式2

2、、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则1、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则注：以上公式与法则是针对显函数而言的。易知函数用解析法表示的方法有：【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则）【2】隐函数【3】用参数方程表示的函数，即问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？第9讲隐函数及由参数方程所确定的函数的导数【1】2－3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数【2】

3、总结【3】课堂练习【1】2－3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的　　函数的导数第二章　导数与微分三、对数微分法一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1解解得课堂练习1－例2。30设方程x2+y2=R2(R为常数)确定函数y=y(x)，解将方将程两边求导，可得当y0时或例2设方程y+x–exy=0确定了函数y=y(x)，解方程两边求导，得当1-xexy0时，解得即例3求曲线x2+y4

4、=17在x=4处对应于曲线上的点的切线方程.解方程两边求导数，可得即对应于x=4有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点P1(4,1)和P2(4,-1).将x=4代入方程，得y=1.在P1处的切线斜率y

5、(4,1)=-2，y–1=-2(x-4)即y+2x–9=0在点P2处的切线方程为y+1=2(x-4)，即y-2x+9=0在P2处切线的斜率y

6、(4,-1)=2.所以，在点P1处的切线方程为【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】设y=arcsinx，则x=siny，两边对x求导，得≤≤cosy取正号，二、由参

7、数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例4设参数方程(椭圆方程)确定了函数y=y(x)，解所以例5解所求切线方程为例6设炮弹与地平线成a角，初速为v0射出，如果不计空气阻力，以发射点为原点，地平线为x轴，过原点垂直x轴方向上的直线为y轴(如图).由物理学知道它的运动方程为求(1)炮弹在时刻t时的速度大小与方向，(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.yOx中弹点解(1)炮弹的水平方向速度为炮弹的垂直方向速度为yOx中弹点VxVy所以，在t时

8、炮弹速度的大小为它的位置是在t时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为(2)令y=0，得中弹点所对应的时刻三、对数求导法观察函数上述函数的求导方法－采用对数求导法：先对方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:例7解等式两边取对数得例8解等式两边取对数得一般地课堂练习2解两边取对数，得两边求导，例9设3所以【2】总结：导数公式与求导法则1、基本导数公式2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法(5)隐函数求导法则(6)

9、参变量函数的求导法则1、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)参变量函数的求导法则【3】课堂练习与课外作业课堂练习：习题2－3）1（5）、3、7（3）课外作业：习题2－3）1（2）（6）、2、4（1）（4）、7（1）