隐函数和参数方程求导

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1、二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数§2.4隐函数和参数方程求导三、相关变化率一、隐函数的导数显函数与隐函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnxex都是显函数由方程F(xy)0所确的函数称为隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化例如方程xy310确定的隐函数为隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数(ey)(xy)(e)(0)即eyyy+xy0方程中每一项对x求导得解例2求由方程y52yx3x

2、70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

3、x0因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得解例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即解上式两边再对x求导得的二阶导数例4方程两边对x求导得yf(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得对数求导法例5求yxsinx(x>0)的导数

4、解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解法一上式两边对x求导得两边取对数得lnysinxlnxyxsinxesinx·lnx上式两边对x求导得说明严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的例6先在两边取对数得解设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则二、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程îíì==)()(tytxyj确定的.解例7.求椭圆îíì==tbytaxsincos在相应于4p=t点处的切

5、线方程.所求切线的斜率为abdxdyt-==4p.再求速度的方向设a是切线的倾角则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻t的运动速度的大小为x(t)=v1y(t)=v2-gt求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向例8抛射体运动轨迹的参数方程为速度的水平分量与铅直分量分别为先求速度的大小解讨论:已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?例9.设求例10.设,且求解:解:的函数yf(x)的二阶导数解(t2npn为整数)例11．计算由摆线的参数方程îíì-=-=)cos1()sin(tayttax所确定三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称

6、为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例12.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则两边对t求导已知h=500m时,作业：p-111习题2-41(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);7(2);8(2),(4);9(2);10;12