2.4隐函数和参数方程求导

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1、第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导又如,对x求导两边

2、取对数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,例5.椭圆参数方程为，求椭圆在相应点处的切线方程.解:当,椭圆上相应点坐标为：曲线在相应点的切线斜率为：代入点斜式方程，得切线方程为：若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例6.计算由摆线所确定的函数y=y(x)的二阶导数.解:例7.设,且求解:练习:P111题8(1)解:例8.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.

3、参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为2.设求提示:分别用对数求导法求答案:3.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,其上定点M的轨迹即为摆线.